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<title>Galileo's Operazioni del Compasso Geometrico (1606): A Basic TEI Edition</title>
<author>Galileo’s Library Digitization Project</author>
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<orgName>the TEI Archiving, Publishing, and Access Service (TAPAS)</orgName>
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<addrLine>Northeastern University</addrLine>
<addrLine>Boston, MA 02115</addrLine>
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<licence>Creative Commons BY-NC-SA</licence>
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<note>Based on the copy held by the Austrian National Library and digitized in partnership with Google.</note>
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<title>Le operazioni del Compasso geometrico et militare di Galileo Galilei.</title>
<author>Galilei, Galileo</author>
<pubPlace>Padovae</pubPlace>
<publisher>Marinelli, Pietro</publisher>
<date>1606</date>
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<p>This TEI edition is part of a project to create accurate, machine-readable versions of books known to have been in the library of Galileo Galilei (1563-1642).</p>
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<p>This work was chosen to maintain a balance in the corpus of works by Galileo, his opponents, and authors not usually studied in the history of science.</p>
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<p>Lists of errata have not been incorporated into the text. Typos have not been corrected.</p>
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<normalization>
<p>The letters u and v, often interchangeable in early Italian books, are reproduced as found or as interpreted by the OCR algorithm. Punctuation has been maintained. The goal is an unedited late Renaissance text for study.</p>
</normalization>
<quotation>
<p></p>
</quotation>
<hyphenation>
<p>Hyphenation has been maintained unless it pertains to a line break (see "segmentation").</p>
</hyphenation>
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<p>Word breaks across lines have not been maintained. The word appears in the line in which the first letters were printed. Words broken across pages appear on the page on which the first letters appear. Catch words are not included.</p>
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<docTitle>LE OPERAZIONI DEL COMPASSO GEOMETRICO, ET MILITARE. DI GALILEO GALILEI NOBIL FIORENTINO LETTOR DELLE MATEMATICHE nello Studio di Padoua. Dedicato AL SERENISS. PRINCIPE DI TOSCANA D. COSIMO MEDICI. IN PADOVA, In Casa dell'Autore, Per Pietro Marinelli. MDCVI. Con licenza de i Superiori.</docTitle>
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<figDesc></figDesc>
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<date>1605</date>
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<pb n= "unnumbered i recto"/>
<lb/>
<lb/>LE OPERAZIONI
<lb/>DEL COMPASSO
<lb/>GEOMETRICO,
<lb/>ET MILITARE.
<lb/>DI
<lb/>GALILEO GALILEI
<lb/>NOBIL FIORENTINO
<lb/>LETTOR DELLE MATEMATICHE
<lb/>nello Studio di Padoua.
<lb/>Dedicato
<lb/>AL SERENISS. PRINCIPE DI TOSCANA
<lb/>D. COSIMO MEDICI.
<lb/>IN PADOVA,
<lb/>In Casa dell'Autore, Per Pietro Marinelli. MDCVI.
<lb/>Con licenza de i Superiori.
<pb n= "unnumbered ii recto"/>
<lb/>AL SER.MO D. COSIMO
<lb/>MEDICI
<lb/>PRINCIPE DI TOSCANA, &C.
<lb/>Se io volessi, Serenissimo Principe, spiegare in questo
<lb/>luogo il numero delle lodi, che alla grandezza de i
<lb/>proprii meriti dell' A. V. & della Sua Sereniss. Casa si
<lb/>devono, così lungo discorso far mi converrebbe, che
<lb/>il Proemio di lunga mano il resto del ragionamento avanzerebbe;
<lb/>onde io mi asterrò di tentare quell'impresa, al mezo della quale,
<lb/>non che al fine, condurmi diffiderei. Oltre che non per accrescere
<lb/>splendore alla Serenità Vostra, che già come nascente Sole per tutto
<lb/>l'occidente risplende, hò io abbracciata l'occasione di dedicarli
<lb/>la presente fatica, mà all'incontro acciò che il fregio, & l’ornamento
<lb/>del nome vostro, che in fronte, com'io nell'anima, porterà sempre
<lb/>scritto, all'oscure sue tenebre gratia, & splendore aqquisti. Nè io come
<lb/>oratore, per esaltare la gloria di V. A. S. gli vengo avanti, mà come
<lb/>devotissimo servo, & humilissimo vasallo, li porgo un debito
<lb/>tributo; il che prima havrei fatto, se la tenerezza della sua età non mi
<lb/>havesse persuaso ad aspettar questi anni à simili studii più accomodati.
<lb/>Che poi questo picciol dono deva esser con lieta fronte ricevuto
<lb/>dall'A. V., non devo io mettere in dubio; sì perche l'infinita, sua
<lb/>humanità nativa me lo persuade, & la proporzione, che hà questa
<lb/>lettura con li altri tanti suoi esercizii regii, me l'afferma, sì ancora, oltre
<lb/>à ciò, perche l'esperienza stessa me l'accerta, essendosi ella per
<lb/>gran parte dell’Estate passata, degnata di ascoltar con tanto benigna
<lb/>udienza dalla mia viva voce l'esplicazione di molti usi di questo
<lb/>Strumento. Gradirà dunque l'A. V. S. questo mio, dirò quasi,
<lb/>scherzo Matematico à i suoi primi giovenili studii nobilmente conforme;
<lb/>& avanzandosi con l'età in queste, veramente Regie discipline, aspetti
<lb/>di tempo in tempo dal mio basso ingegno tutti quei più maturi frutti,
<lb/>che dalla Divina grazia m'è stato, & sarà conceduto di raccorre.
<lb/>Et qui con ogni humiltà inchinandomi li bacio reverentemente la vesta;
<lb/>& dal S. Dio li prego somma felicità. Di Padova, li X. di Luglio 1606.
<lb/>Di V. A. Sereniss.
<lb/>Humiliss. & Obligatiss. Servo
<lb/>Galileo Galilei
<pb n="unnumbered ii verso"/>
<lb/>A I DISCRETI LETTORI.
<lb/>La occasione di pratticar con tanti, e tanti Signori grandi in questo nobilissimo Studio
<lb/>di Padova, per instituirgli nelle Scienze Matematiche, mi hà con lunga esperienza
<lb/>fatto conoscere, come non fù del tutto indecente la richiesta di quel
<lb/>gran discepolo, che da Archimede, suo maestro nella Geometria, ricercò strada
<lb/>più facile, & aperta, che all' aqquisto di quella lo conducesse: imperò che
<lb/>anco in questa età pochissimi sono à i quali gli erti, et spinosi sentieri, per i quali
<lb/>passar bisogna prima che all' aqquisto de i preziosi frutti di queste scienze pervenir si possa,
<lb/>non rincreschino, ò che spaventati dalla lunga asprezza, & più dal non vedere, ò potersi imaginare,
<lb/>come queste oscure, & sconosciute strade al desiderato temine condur gli possino, à men
<lb/>che mezo il cammino non si atterrino, & abbandonino l'impresa. Et ciò hò io tanto più frequentemente
<lb/>veduto accadere, quanto con più gran personaggi mi sono incontrato; come quelli, che essendo in
<lb/>tanti altri maneggi occupati, & distratti, non possono in questi esercitar quell' assidua
<lb/>pazienza, che vi saria necessaria. lo dunque scusandogli insieme col giovine Rè di Siracusa,
<lb/>& desiderando che non restino per la difficoltà, & lunghezza delle communi strade privi di
<lb/>cognizioni tanto à nobili Signori necessarie, mi rivolsi à tentare di aprir questa Via veramente
<lb/>Regia, la quale con l' aiuto di questo mio Compasso in pochissimi giorni insegna tutto quello,
<lb/>che dalla Geometria, & dall'Aritmetica, per l'uso Civile, & Militare non senza lunghissimi studii
<lb/>per le vie ordinarie, si riceue. Quello, che io habbia con questa mia opera conseguito, nol
<lb/>dirò io, ma lo lascierò giudicare à quelli, che da me sin quì l' hanno appresa, ò per l'avvenire l'apprenderanno, & in particolare da chi havrà veduti gli Strumenti da gl' altri in simili propositi
<lb/>ritrovati: benche la più gran parte dell'invenzioni, & le maggiori, che nel mio Strumento si contengono,
<lb/>da altri sin quì non sono state, nè tentate, nè immaginate; trà le quali è molto principale
<lb/>questa del poter qual si voglia persona risolvere in un' istante le più difficili operazioni di
<lb/>Aritmetica; delle quali però ne descrivo quelle sole, che alle Civili, & Militari occorrenze
<lb/>più frequentemente accaggiono. Duolmi solamente, Benigno Lettore, che quantunque io mi
<lb/>sia ingegnato di spiegare le seguenti cose con ogni chiarezza, e facilità possibile, tuttavia, à chi le dovrà
<lb/>dalla scrittura cavare, resteranno in qualche oscurità involte, perdendo appresso molta di quella
<lb/>grazia, che nel vederle attualmente operare, e nell'apprenderle dalla viva voce, le rende meravigliose; ma questa è una di quelle materie, che non patiscono di essere con chiarezza, & facilità
<lb/>descritte, ne intese, se prima dalla viva voce non si ascoltano, & nell'atto stesso esercitar non si
<lb/>veggono. Et questa saria stata potente cagione, che mi harrebbe fatto astener dall'imprimer
<lb/>quest’ opera, se non mi fosse giunto all'orecchie, che altri, alle mani di cui, non sò in qual guisa, è
<lb/>pervenuto uno de i miei Strumenti con la sua dichiarazione, si apparecchiava per appropriarselo;
<lb/>il che mi hà messo in necessità di assicurar col testimonio delle stampe, non meno le fatiche
<lb/>mie, che la riputatione di chi se l'havesse volute attribuire; perche quanto al far cauto me, non
<lb/>mancano le testimonianze di Principi, & altri gran Signori, i quali da 8. anni in quà hanno questo
<lb/>Strumento veduto, & da me appresone l'uso; de i quali quattro soli mi basterà hora nominare.
<lb/>Uno fu l'Illustrissimo, & Eccellentiss. S. Gio. Friderico Principe di Holsazia, &c. e Conte
<lb/>in Oldemburg &c., che l'anno 1598. apprese da me l'uso di questo Strumento, mà non ancora
<lb/>à perfezione ridotto. Et poco doppo fui dell'istesso favore honorato dal Serenissmo Arciduca
<lb/>D. Ferdinando d'Austria. L'Illustrissimo, & Eccellentissimo S. Filippo Landgravio di Assia, &
<lb/>Conte di Nidda, &c. l'anno 1601. intese il medesimo uso quì in Padova. Et il Serenis. di Mantova
<lb/>due anni sono volse da me sentirne l'Esplicazione.
<lb/>Aggiugnesi che il tacere io la fabrica dello Strumento, la quale per la lunga e laboriosa sua descrizione,
<lb/>& per altri rispetti al presente pretermetto, renderà questo trattato del tutto inutile,
<lb/>à chi senza lo Strumento ei pervenisse nelle mani. Et per tal causa ne hò io fatte stampare
<lb/>appresso di me 60. copie sole, per presentarne insieme con lo Strumento, con la somma diligenza,
<lb/>che si ricerca fabricato, & diviso, prima al Sereniss. Principe di Toscana mio Sig., & poi
<lb/>ad altri Signori, da' i quali sò questa mia fatica esser desiderata. Finalmente essendo mia intenzione
<lb/>di esplicare al presente operazioni per lo più attenenti al soldato, hò giudicato esser bene
<lb/>scrivere in favella Toscana, accioche venendo talhora il libro in mano di persone più intendenti
<lb/>della Militia, che della lingua latina, possa da loro esser comodamente inteso. Vivete felici.
<pb n= "1 recto"/>
<lb/>DIVISIONE DELLA LINEA,
<lb/>OPERATIONE PRIMA.
<lb/>Venendo alla dichiaratione particolare delle
<lb/>operationi di questo nuovo Compasso Geometrico,
<lb/>& Militare, primamente faremo principio
<lb/>da quella faccia di esso nella quale sono notate
<lb/>quattro coppie di linee con loro divisioni,
<lb/>& numeri; & trà esse parleremo prima delle più
<lb/>interiori, denominate Linee Aritmetiche per esser le loro divisioni
<lb/>fatte in proportione Aritmetica, cioè con eguali eccessi, che procedono
<lb/>sino al numero 250. dalle quali trarremo diversi usi, &
<lb/>primamente.
<lb/>Col mezo di queste linee potremo dividere una linea retta propostaci
<lb/>in quante parti eguali ne piacerà, operando in alcuno delli
<lb/>infrascritti modi.
<lb/>Quando la proposta linea sia di mediocre grandezza, si che non
<lb/>ecceda l'apertura dello Strumento, piglieremo con un Compasso
<lb/>ordinario l'intera quantità di quella, & questo spazio applicheremo
<lb/>traversalmente aprendo lo Strumento à qualunque numero di esse
<lb/>linee aritmetiche, pur che sia tale, che sopra le medesime linee ve
<lb/>ne sia un minore, & da quello contenuto tante volte quante sono
<lb/>le parti in che si hà da dividere la linea proposta; & aggiustato in
<lb/>tal guisa lo Strumento, & preso lo spazio traversale trà i punti di
<lb/>questo minor numero, questo senz' alcun dubbio dividerà la proposta
<lb/>linea nelle parti ordinateci, come per essempio.
<lb/>Dovendo noi dividere la linea data in cinque parti eguali, pigliamo
<lb/>due numeri de' quali il maggiore sia quintuplo dell'altro,
<lb/>come sariano 100. & 20., & aperto lo Strumento aggiustiamolo
<lb/>in maniera, che la distanza già presa col Compasso si adatti traversalmente
<lb/>alli punti segnati 100. 100, & non movendo più lo Strumento
<lb/>prendasi la distanza pur traversale trà li punti delle medesime
<lb/>linee segnati 20. 20. perche indubitatamente questa sarà la
<pb n= "1 verso"/>
<lb/>quinta parte della linea proposta, & con simile ordine troveremo
<lb/>ogn'altra divisione: avvertendo di prendere numeri grandi pur
<lb/>che non si passi 250. perche così facendo, l'operatione riuscirà più
<lb/>facile, & esatta.
<lb/>L'istesso potremo conseguire operando in un altro modo, &
<lb/>l' ordine sarà tale. Volendo dividere per essempio la sottoposta
<lb/>linea AB v. g. in 11. parti, prenderò un numero multiplice dell'
<lb/>altro undici volte, come saria 110. & 10. & presa col Compasso
<lb/>tutta la linea AB, l'accomoderò traversalmente aprendo lo Strumento
<lb/>alli punti 110. dipoi, non si potendo sopra le medesime linee
<lb/>prendere la distanza trà li punti 10. li quali vengono occupati
<lb/>dalla grandezza della nocella, in vece di questa si piglierà l'intervallo
<lb/>trà li punti 100. 100. stringendo un poco il Compasso;
<lb/>del quale fermata poi un'asta nel punto B. noterò con l'altra il segno
<lb/>C. onde la rimanente linea AC. sarà la undecima parte di
<lb/>tutta l'AB. & similmente fermata l'asta del Compasso in A. segnerò
<lb/>verso l'altra estremità il punto E. lasciando la EB. eguale
<lb/>alla CA. Dipoi stringendo ancora un poco il Compasso, prenderò
<lb/>l' intervallo traversale trà li punti 90. 90. & questo trasporterò
<lb/>da B. in D. & da l'A. in F. & haverò due linee CD. FE. undecime
<lb/>parti ancor'esse della intera. Et col medesimo ordine trasferendo
<lb/>di quà, & di là le distanze prese trà li punti 80. 80. 70. 70. &c., troveremo
<lb/>le altre divisioni; come nella sottoposta linea distintamente
<lb/>si vede.
<lb/>Mà quando ci fusse proposta una piccolissima linea da dividersi
<lb/>in molte parti; come sarebbe per essempio la seguente linea AB.
<lb/>per dividerla v. g. in 13. parti, potremo secondo quest'altra regola
<lb/>procedere.
<lb/>Prolunghisi occultamente essa linea AB. sino in C. & misurate
<lb/>in essa altre linee quante ci piaceranno eguali alla AB. & siano nel
<lb/>presente essempio altre sei, siche AC. sia settupla di essa AB. è manifesto,
<lb/>che di quelle parti delle quali la AB. contiene 13., tutta la
<lb/>AC. ne conterrà 91. onde, presa con un Compasso tutta la AC.
<pb n = "2 recto"/>
<lb/>l'applicheremo trayersalmente, aprendo lo Strumento alli punti
<lb/>91. 91. & stringendo poi il Compasso à un punto meno, cioè à li
<lb/>punti 90. 90. trasporteremo questa distanza dal punto C. verso A.
<lb/>perche notando il termine verso A. si lascerà la ottanun'esima
<lb/>parte di tutta la CA. che è la tredicesima della BA. fuori, pur verso
<lb/>il termine A. & così, se ci piacerà verremo stringendo di punto
<lb/>in punto il Compasso all' 89. 88. 87. &c & trasporteremo questi
<lb/>intervalli dal termine C. verso A. & si verranno di grado in grado
<lb/>ritrovando, & notando le altre particelle della linea proposta
<lb/>AB.
<lb/>Mà se finalmente la linea da dividersi fusse lunghissima, siche eccedesse
<lb/>di molto la maggiore apertura dello Strumento potremo
<lb/>in ogni modo prendere di essa la parte assegnataci, la quale sia, per
<lb/>essempio la settima. Hora per trovarla, havendoci prima immaginati
<lb/>due numeri l'uno settuplo dell' altro quali siano v. g. 140. &
<lb/>20. costituiscasi lo Strumento in qual si voglia apertura, & da esso
<lb/>presa con un Compasso la distanza traversale trà li punti 140. 140.
<lb/>veggasi quante volte questa è compresa nella gran linea proposta,
<lb/>& quante volte vi è contenuta tante volte l'intervallo traversale
<lb/>trà li punti 20. 20. si replichi sopra la gran linea, & si haverà la
<lb/>sua settima parte; quando però l'intervallo, che si prese trà Ii punti
<lb/>140. avesse misurato precisamente la data linea; mà se non l'havesse
<lb/>misurata à punto bisogneria prendere dell'avanzo la settima
<lb/>parte secondo il modo di sopra dichiarato, & questa aggiugnere à
<lb/>quell'intervallo, che fu sopra la gran linea più volte replicato, & si
<lb/>haverà la settima parte à capello, secondo che si desiderava.
<pb n= "2 verso"/>
<lb/>COME DI UNA LINEA PROPOSTA
<lb/>possiamo prendere qualunque parti ci verranno ordinate.
<lb/>Operatione Seconda.
<lb/>La presente operazione è tanto più utile, & necessaria
<lb/>quanto che senza l'aiuto del nostro Strumento
<lb/>saria difficilissimo trovar tali divisioni, le quali
<lb/>però con lo Strumento in uno instante si conseguiranno.
<lb/>Quando dunque ci bisognasse d'una
<lb/>linea proposta prendere qualunque parti ci venissero
<lb/>ordinate, come per essempio delle 197. parti doviamo prendere
<lb/>le 113. Piglisi senz'altro con un Compasso la lunghezza della
<lb/>data linea, & aperto lo Strumento sinche tale lunghezza si accomodi
<lb/>traversalmente alli punti segnati 197. & più non lo movendo,
<lb/>prendasi con l'istesso Compasso la distanza trà li punti
<lb/>113. 113. che tanta senz'alcun dubio sarà la porzione della linea
<lb/>proposta che alli centotredici centonovantasettesimi si agguaglia.
<lb/>COME LE MEDESIME LINEE CI PRESTANO
<lb/>due, anzi infinite scale per trasportar'una pianta in un'
<lb/>altra maggiore, ò minore secondo il nostro arbitrio. Oper. 3.
<lb/>È manifesto, che qualunque volta ci bisognasse cavare
<lb/>da un dissegno un' altro maggiore, ò minore secondo
<lb/>qual si voglia proportione fa di mestiero, che ci serviamo
<lb/>di due scale esattamente divise l'una delle quali ci
<lb/>serva per misurare il disegno già fatto, e l'altra per notare le linee
<lb/>del disegno da farsi tutte proportionate alle loro corrispondenti
<lb/>del disegno proposto, & tali due scale havremo sempre dalle
<lb/>linee delle quali hora parliamo, & una d'esse sarà la linea già sopra
<lb/>lo Strumento dirittamente divisa, & ch' hà il suo principio nel centro
<lb/>dello Strumento, & questa, ch' è una scala stabile ci servirà per
<lb/>misurare i lati della proposta Pianta, l'altra, che sarà per disegnare
<lb/>la nuova Pianta deve esser mobile, cioè deve potersi crescere,
<lb/>& diminuire ad arbitrio nostro secondo, che la nuova Pianta
<pb n="3 recto"/>
<lb/>dovrà esser ò maggiore, ò minore, e tale scala mutabile sarà quella,
<lb/>che dalle medesime linee havremo traversalmente stringendo, ò
<lb/>allargando il nostro Strumento. Mà per più chiara intelligenza del
<lb/>modo d'applicare all'uso tali linee, ne metteremo un essempio.
<lb/>Siaci dunque proposta la Pianta ABCDE. alla quale se ne deve
<lb/>disegnare un' altra simile, mà sopra la linea FG. la quale sia homologa,
<lb/>cioè, risponda alla linea AB. qui è manifesto, che bisogna
<lb/>servirsi di due scale l'una per misurar le linee della Pianta ABCDE.
<lb/>& l'altra con la quale si misurino le linee della Pianta da farsi, &
<lb/>questa deve esser dell' altra maggiore, ò minore secondo la proportione
<lb/>della linea FG. alla AB. Piglia dunque con un Compasso la
<lb/>linea A. la quale applica rettamente sopra la scala dello Strumento,
<lb/>ponendo un'asta del Compasso nel centro dello Strumento, e
<lb/>l'altra sopra il punto, dove cascherà, che sia per essempio al 60. dipoi
<lb/>prendi pur col Compasso la linea FG. e posta una delle sue
<lb/>aste nel punto 60. apri lo Strumento sin tanto che l' altr' asta caschi
<lb/>giusto traversalmente sopra l'altro corrispondente punto 60. nè
<lb/>più si muterà tale costituzione dello Strumento, ma tutti gli altri
<pb n="3 verso"/>
<lb/>lati della Pianta proposta si misureranno sopra la scala retta, & immediatamente
<lb/>si prenderanno le distanze corrispondenti ad essi
<lb/>traversalmente per li lati della nuova Pianta, come verbi gratia, vogliamo
<lb/>ritrovare la lunghezza della linea GH. rispondente alla
<lb/>BC. prendi col Compasso la distanza BC. e questa applica dal centro
<lb/>dello Stromento rettamente sopra la scala, & fermata l' altr' asta
<lb/>nel punto, dove casca, quale sia per essempio 66. volta l' altr' asta
<lb/>all' altro punto 66. traversalmente rispondente, secondo la cui misura
<lb/>taglierai la linea GH. che risponderà alla BC. in quell' istessa
<lb/>proportione che la linea FG. alla AB. Et avvertiscasi, che quando
<lb/>si volesse trasportare una Pianta piccola in un'altra assai maggiore
<lb/>bisognerà servirsi delle due scale con ordine opposto, cioè usare
<lb/>la scala retta per la Pianta da farsi, e la trasversale per misurar le linee
<lb/>della Pianta proposta, come per essempio. Haviamo la Pianta
<lb/>ABCDEF. la quale vogliamo trasportare in un'altra assai maggiore,
<lb/>cioè sopra la linea GH. che sia rispondente alla linea AB.
<lb/>Per aggiustar le scale prendasi la linea GH. & veggasi quanti punti
<lb/>contiene nella scala retta, & veduto contenerne. v. g. 60. prendasi
<lb/>la sua rispondente AB. & adattisi traversalmente alli punti 60. 60.
<lb/>ne più si muova lo Strumento; per trovar poi la linea HI. rispondente
<lb/>alla BC. piglia col Compasso essa BC. & và investigando
<lb/>à quali punti si accomodi sopra la scala traversale, & trovato accomodarsi
<lb/>per essempio alli punti 46. piglia immediatamente l'intervallo
<lb/>de i punti 46. sopra la scala retta, & troverai la lunghezza
<lb/>della linea HI. rispondente alla BC. E notisi tanto per questa,
<lb/>quanto per la precedente operazione, che non basta haver trovata
<lb/>la lunghezza HI. se non si trova ancora à qual punto si deve
<lb/>drizzare, accioche costituisca l'angolo H. eguale all'angolo B. però
<lb/>trovata che si haverà essa linea HI. fermata un'asta del Compasso
<lb/>nel punto H. si noterà con l' altra occultamente una porzione
<lb/>di arco secondo, che mostra la linea puntata OIN. di poi si piglierà
<lb/>l'intervallo trà 'l punto A. e 'l punto C. & si cercherà quanti
<lb/>punti sia sopra la scala traversale, & trovato essere v. g. 89. si prenderà
<lb/>rettamente la distanza 89. col Compasso, del quale fermata
<lb/>un'asta in G. si noterà con l'altra l'intersecazione dell'arco RIQ.
<lb/>con l' arco primo OIN. fotta nel punto I. al quale si deve drizzar
<pb n="4 recto"/>
<lb/>la linea Hl. & sarà senza dubio l'angolo H. eguale all'angolo B.
<lb/>& la linea HI. proporzionale alla BC. & con tale ordine si troveranno
<lb/>li altri punti KLM. rispondenti all' angoli DEF.
<lb/>REGOLA DEL TRE RISOLUTA COL MEZO
<lb/>del Compasso, & delle medesime linee Aritmetiche
<lb/>Operatione Quarta.
<lb/>Servonci le presenti linee, non tanto per la resolutione
<lb/>di diversi problemi lineari, quanto per alcune regole
<lb/>di Aritmetica, trà le quali porremo questa, che risponde
<lb/>à quella, nella quale Euclide c' insegna, Proposti
<lb/>trè numeri trovare il quarto proporzionale; perchw altro non è la
<lb/>regola Aurea, che del trè domandano i prattici, che trovare il quarto
<lb/>numero proporzionale alli trè proposti. Dimostrando adunque
<lb/>il tutto con l'essempio per più chiara intelligenza diciamo:
<lb/>Se 80. ci dà 120. che ci darà 100. Hai dunque trè numeri posti
<lb/>con quest'ordine 80. 120. 100.
<pb n="4 verso"/>
<lb/>& per trovare il quarto numero, che cerchiamo, prendi sopra lo
<lb/>Strumento rettamente il secondo numero de i proposti, cioè 120.
<lb/>& applicalo trasversalmente al primo, cioè all' 80. dipoi prendi
<lb/>trasversalmente il terzo numero, cioè 100. & misuralo rettamente
<lb/>sopra la scala, & quello che troverai, cioè 150. sarà il quarto numero
<lb/>cercato; & nota che l' istesso avverria, se in vece di prendere il
<lb/>secondo numero pigliassi il terzo, & poi in vece del terzo pigliassi
<lb/>il secondo, cioè, che l'istesso ci darà il secondo numero preso rettamenne,
<lb/>& applicato al primo trasversalmente, pigliando dipoi il
<lb/>terzo trasversalmente, & misurandolo rettamente, che ci daria il
<lb/>terzo rettamente preso, & trasversalmente al primo applicato, pigliando
<lb/>poi il secondo trasversalmente, & rettamente misurandolo;
<lb/>che nell'uno, & nell'altro modo troveremo 150. Et ciò è bene
<lb/>haver avvertito, perche secondo le diverse occasioni, questo di
<lb/>quello, ò quello di questo modo di operare ci tornerà più accomodato.
<lb/>Possono circa l'operazione di questa regola del trè occorrere alcuni
<lb/>casi, li quali potriano partorir qualche difficoltà, se non si avvertissero,
<lb/>dimostrando appresso, come in essi si deva procedere;
<lb/>Et prima potria alcuna volta occorrere, che delli 3. numeri proposti,
<lb/>nè il secondo, nè il terzo preso rettamente si potesse applicare
<lb/>trasversalmente al primo, come se si dicesse, 25. mi dà 60. che darà
<lb/>75/ dove tanto il 60. quanto il 75. passa il doppio del primo, cioè
<lb/>di 25. siche nè l'uno, nè l'altro di essi si può rettamente preso applicare
<lb/>trasversalmente ad esso 25. onde, per conseguire l'intento nostro,
<lb/>piglieremo ò il secondo, ò il terzo rettamente, & l'applicheremo
<lb/>al doppio del primo trasversalmente, cioè a 50. (& quando
<lb/>non bastasse al doppio, l'applicheremo al triplo, al quadruplo, &c.)
<lb/>dipoi pigliando l'altro trasversalmente, affermeremo, che quello,
<lb/>che ci mostrerà misurato rettamente sarà la metà (overo la terza, ò
<lb/>quarta parte) di quello che cerchiamo. Et così nel proposto essempio
<lb/>60. preso rettamente applicato al doppio di 25. cioè a 50.
<lb/>trasversalmente, & subito preso il 75. pur trasversalmente, & questo
<lb/>misurato rettamente troveremo, che ci darà 90. il cui doppio,
<lb/>ciò è 180. è il quarto numero che si cercava.
<lb/>Potria in oltre occorrere, che il secondo ò il terzo de i numeri
<pb n="5 recto"/>
<lb/>proposti non si potesse applicare al primo, per esser esso primo troppo
<lb/>grande, siche eccedesse il numero segnato sopra le linee, cioè
<lb/>250. come se dicessimo 280. mi dà 130. che mi darà 195. in tal
<lb/>caso preso rettamente il 130. si butterà trasversalmente alla metà
<lb/>di 280. che è 140. dipoi si prenderà trasversalmente la metà del terzo
<lb/>numero cioè di 195. che è 97. e mezo, e questo spatio misurato rettamente
<lb/>ci darà 90. e mezo, che è quello che si cercava.
<lb/>Un'altra cautela sarà bene, che ponghiamo, per servircene quando
<lb/>il secondo ò terzo delli numeri proposti fusse molto grande essendo
<lb/>li altri due mediocri, come quando si dicesse, se 60. mi dà 390.
<lb/>che mi darà 45. preso dunque 45. rettamente, si applicherà trasversalmente
<lb/>al 60. & non si potendo pigliare il 390. intero lo piglieremo
<lb/>in pezzi, secondo che più ci piacerà come v. g. piglierò 90.
<lb/>trasversalmente, il quale misurato rettamente mi darà 67. e mezo,
<lb/>il che noterò da parte; piglierò poi trasversalmente 100. che misurato
<lb/>rettamente mi darà 75. & perche nel 390. vi è una volta 90.
<lb/>& tre volte 100. prenderò tre volte il 75. trovato, & di più 67. e
<lb/>mezo, che fu trovato in virtù del 90. & tutta questa somma fà
<lb/>292. e mezo, per il quarto numero che si cerca.
<lb/>Ultimamente non resteremo di dire, come si possa operare la
<lb/>medesima regola in numeri picciolissimi, ben che nello Strumento
<lb/>non si siano potuti notare i punti dal 15. in giù mediante la nocella
<lb/>che unisce, & collega le aste dello Strumento. Mà in questa
<lb/>occasione, ci serviremo delle decine de i punti, come se fussero unità,
<lb/>si che dicendo per essempio se 10. dà 7. che darà 13. Non potendo
<lb/>pigliar 7. per buttarlo à 10. piglieremo 70. cioè 7. decine, & lo
<lb/>butteremo à 10. decine, cioè à 100. & subito pigliando 13. decine
<lb/>torneremo à misurar questa distanza rettamente, & la troveremo
<lb/>contenere punti 91. che sono 9. & un decimo, facendo come si è detto,
<lb/>che ogni decina vaglia uno; Et da tutti questi avvertimenti quando
<lb/>si haveranno bene in prattica, si potrà facilmente investigare la
<lb/>solutione di tutte le difficoltà, che ci potessero in ogni caso occorrere.
<pb n="5 verso"/>
<lb/>REGOLA DEL TRE INVERSA RISOLUTA
<lb/>col mezo delle medesime linee. Operatione V.
<lb/>Con non dissimile operatione si risolveranno i quesiti
<lb/>della regola del trè inversa; Eccone un essempio.
<lb/>Quella vittovaglia, che basteria per mantener 60.
<lb/>giorni 100. Soldati, à quanti basteria giorni 75.
<lb/>questi numeri disposti alla regola, stariano in quest'
<lb/>ordine 60. 100. 75.
<lb/>Et l' operatione dello Strumento richiede che pigli rettamente
<lb/>il primo numero, cioè 60. & l'applichi trasversalmente al numero
<lb/>terzo, cioè 75. & non movendo lo Strumento piglia trasversalmente
<lb/>il 100. che è il secondo, & misuralo rettamente, & troverai 80.
<lb/>qual' è il numero cercato dove si deve parimente avvertire, che 'l
<lb/>medesimo ritroveremo applicando il secondo rettamente al terzo
<lb/>trasversalmente, & poi misurando rettamente il primo trasversalmente
<lb/>preso. Devesi oltre a ciò notare, che tutti gli avvertimenti
<lb/>posti sopra circa Ia regola del trè si devono ancora in questa per
<lb/>l'appunto osservare.
<lb/>REGOLA PER TRASMUTAR LE MONETE.
<lb/>Operatione VI.
<lb/>Col mezo di queste medesime linee Aritmetiche possiamo
<lb/>trasmutar ogni spetie di moneta l'una nell'altra con
<lb/>maniera molto facile, & spedita, il che si conseguirà con
<lb/>l' aggiustar prima lo Strumento, pigliando rettamente
<lb/>il prezzo della moneta, che vogliamo trasmutare, & accomodandolo
<lb/>trasversalmente al prezzo di quella, in cui si hà da fare la trasmutazione;
<lb/>come, acciò più distintamente il tutto s' intenda, dichiareremo
<lb/>con un essempio: Vogliamo v. g. trasmutare, scudi d'oro
<lb/>in ducati Venetiani, & perche il prezzo, ò valuta dello scudo d' oro
<lb/>è lire 8. & la valuta del ducato lire 6. soldi 4. è necessario (poi che
<lb/>il ducato non è misurato precisamente dalle lire, entrandovi soldi
<lb/>4.) risolvere l' una, & l'altra moneta, & valutarla con li soldi, considerando
<pb n="6 recto"/>
<lb/>come il prezzo dello Scudo è soldi 160. & quello del ducato
<lb/>124. Per aggiustar dunque lo Strumento alla trasmutatione
<lb/>di scudi d' oro in ducati, piglia rettamente la valuta dello scudo,
<lb/>cioè 160. & applicala, aprendo lo Strumento, traversalmente al
<lb/>valore del ducato, cioè a 124. nè più moverai lo Strumento. Dipoi
<lb/>qualunque somma di scudi proposta trasmuterai in ducati, pigliando
<lb/>la detta somma trasversalmente, & misurandola rettamente,
<lb/>come per essempio, vogliamo sapere quanti ducati faccino 186.
<lb/>scudi, piglia 186. per traverso, & misuralo rettamente, & troverai
<lb/>240. & tanti ducati faranno li detti scudi.
<lb/>REGOLA DE GL' INTERESSI SOPRA INTERESSI,
<lb/>che altrimenti si dice de i meriti à capo d'Anno.
<lb/>Operatione VII.
<lb/>Assai speditamente potremo risolvere le questioni di questa
<lb/>regola con l'aiuto delle medesime linee Aritmetiche,
<lb/>& ciò con due diverse maniere di operare, come
<lb/>con due seguenti essempi faremo chiaro, & manifesto.
<lb/>Cercasi quanto siano per guadagnare 140. scudi in 5. anni à ragione
<lb/>di 6. per 100. l'anno, lasciando gl' interessi sopra il capitale, &
<lb/>sopra li altri interessi, acciò che continuamente guadagnino; Per
<lb/>trovar dunque quanto cerchiamo, piglia rettamente il primo capitale,
<lb/>cioè 140. & questo butta trasversalmente al 100. & senza
<lb/>mover lo Strumento, piglia subito pur trasversalmente la distanza
<lb/>trà li punti 106. che è il 100. con l'interesse, & torna di nuovo ad
<lb/>aprir lo Strumento, & questo intervallo, ch' ultimamente pigliasti
<lb/>col Compasso, ributtalo al 100. & aprendo un poco più il Compasso,
<lb/>piglia trasversalmente la distanza trà li punti 106. & di nuovo
<lb/>aperto un poco più lo Strumento, butta questa distanza pur
<lb/>hora trovata al 100. & aprendo il Compasso, piglia il 106. & in
<lb/>somma và replicando questa medesima operatione tante volte,
<lb/>quanto è il numero de gli anni del merito, & essendo, nel presente
<lb/>essempio, il merito per anni cinque, devi reiterar l' operatione cinque
<lb/>volte; Et in ultimo misurando rettamente l'intervallo ch' haverai
<lb/>preso, troverai comprender punti 187. e un terzo, & tanti scudi
<pb n="6 verso"/>
<lb/>saranno doventati li 140. posti da principio col guadagno de i sei
<lb/>per cento, nello spatio di anni cinque, & nota, che se ti tornasse
<lb/>più comodo di servirti in cambio del 100. & 106. del 200. & 212.
<lb/>come spesse volte occorrerà, il medesimo sarà ritrovato.
<lb/>L'altro modo di operare, non richiede altra mutatione nello
<lb/>Strumento, che un solo primo accomodamento, & procedesi così.
<lb/>Servendoci del medesimo quesito posto sopra; per aggiustar
<lb/>lo Strumento, piglia 100. col suo primo interesse, cioè 106. rettamente,
<lb/>& aperto lo Strumento applicalo trasversalmente al 100.
<lb/>ne mai più moverai lo Strumento; piglia poi trasversalmente la
<lb/>somma de i danari proposta, che fu 140. & misurala rettamente, &
<lb/>vederai già il guadagno del primo anno esser 148. e due quinti,
<lb/>comprendendo però anche il capitale. Per trovar il secondo anno,
<lb/>piglia trasversalmente questo 148. e due quinti, & senz'altro misuralo
<lb/>rettamente, & troverai 157. e un terzo, per il secondo anno.
<lb/>Piglia poi questo medesimo numero 157. e un terzo, trasversalmente,
<lb/>e torna à misurarlo rettamente, & troverai 166. e tre quarti,
<lb/>per il capitale, & guadagno del terzo anno. Torna à pigliar questo
<lb/>166. e tre quarti, trasversalmente, & misuralo rettamente, & haverai
<lb/>per il quarto anno 176. e tre quarti. Finalmente piglia questo
<lb/>trasversalmente, & torna à misurarlo rettamente, & haverai per
<lb/>il quinto anno trà caipitale, & guadagno 186. e un terzo. Et così
<lb/>volendo per più anni andrai replicando l'operatione. Et nota,
<lb/>che quando il primo capitale proposto fusse somma tale, che eccedesse
<lb/>il numero de i punti 250. segnati sopra le linee Aritmetiche,
<lb/>devi operare à pezzi, pigliando la metà, il terzo, il quarto,
<lb/>il quinto, ò altra parte della somma proposta, che in
<lb/>fine pigliando due, tre, quattro, ò cinque, ò
<lb/>più volte, quello che trovi; verrai in
<lb/>cognitione di quello, che
<lb/>desideri.
<pb n="7 recto"/>
<lb/>DELLE LINEE
<lb/>GEOMETRICHE,
<lb/>CHE SEGUONO APPRESSO, ET LORO USI;
<lb/>Et prima come col mezo di esse possiamo crescere ò diminuire
<lb/>in qualunque data proportione tutte le figure superficiali.
<lb/>Operatione VIII.
<lb/>Le linee che seguono appresso le Aritmetiche di
<lb/>sopra dichiarate sono dette linee Geometriche;
<lb/>per esser divise secondo la Geometrica proportione
<lb/>procedente sino al 50. dalle quali trarremo
<lb/>diverse utilità; & prima ci serviranno per trovar il
<lb/>lato di una figura superficiale, che ad un'altra proposta
<lb/>abbia una data proportione; come saria per essempio sendoci
<lb/>proposto il triangolo ABC. vogliamo trovar il lato di un
<lb/>altro che ad esso habbia proportione sesquialtera; Piglinsi due numeri
<lb/>nella data proporzione, & siano per essempio 12. & 8. & presa
<lb/>con un Compasso la linea BC. adattisi aprendo lo Strumento
<pb n="7 verso"/>
<lb/>alli punti delle linee Geometriche 8. 8. & senza punto muover
<lb/>l' apertµra, prendasi l' intervallo trà li punti 12. 12. perche se faremo
<lb/>una linea di tal grandezza lato di un triangolo, rispondente
<lb/>alla linea BC. sarà la sua superficie indubitatamente sesquialtera
<lb/>del triangolo ABC. & questo medesimo intendasi di ogn'altra
<lb/>sorte di figura, & delli cerchi ancora faremo questo medesimo, servendoci
<lb/>delli loro diametri ò semidiametri, come de i lati delle figure
<lb/>rettilinee. Et notisi per le persone più vulgari che la presente operatione
<lb/>è quella che c'insegna crescere ò diminuire tutte le piante
<lb/>superficiali, come v. g. havendo una pianta, la quale contiene per essempio,
<lb/>10. campi di terreno, ne vorremmo disegnare una, che ne contenesse
<lb/>34. piglia qualunque linea della pianta di 10. campi, & applicala
<lb/>trasversalmente alli punti 10. delle presenti linee Geometriche,
<lb/>& senza più muover lo Strumento, prendi l' intervallo trasversale
<lb/>trà li punti 34. delle medesime linee, & sopra una tal lunghezza
<lb/>descrivi la tua pianta simile alla prima, secondo la regola, che di sopra
<lb/>nella terza operatione fù insegnato, & haverai la pianta cercata
<lb/>capace precisamente di 34. campi.
<lb/>COME CON L' ISTESSE LlNEE POSSIAMO
<lb/>trovare la proportione trà due figure superficiali trà di
<lb/>loro simili. Operatione IX.
<lb/>Sianci per essempio proposti li due quadrati AB. overo
<lb/>qualunque due altre figure, delle quali le due medesime
<lb/>linee AB. siano lati homologhi; volendo trovar
<lb/>qual proportione habbino trà di loro le dette superficie,
<lb/>prendasi con un Compasso la linea B. la quale aprendo lo Strumento
<lb/>si applichi à qual si voglia punto di esse linee Geometriche,
<lb/>& sia per essempio al 20. dipoi non movendo lo Strumento, prendasi
<lb/>col Compasso la linea A. & questa applicata alle linee Geometriche,
<lb/>veggasi à che numero si adatti, & trovato v. g. che si aggiusti
<lb/>al numero 10. dirai la proportione delle due figure esser quella,
<lb/>che hà 20. à 10. cioè doppia; & quando la grandezza di questa
<lb/>linea non si accomodasse precisamente ad alcuna delle divisioni,
<lb/>dobbiamo rinovare l'operatione, & applicando ad altri punti, che
<pb n="8 recto"/>
<lb/>alli 20. tentare sin tanto che l'altra linea ancora esattamente si
<lb/>accomodi à qualche punto, il che trovato, sapremo consequentemente
<lb/>la proportione delle due figure assegnateci, per esser lei sempre
<lb/>la medesima, che quella de i numeri delli due punti, alli quali
<lb/>le dette linee, nella medesima apertura dello Strumento si accomodano.
<lb/>Et quando dell' una delle due Piante proposteci fusse data
<lb/>la capacità si troverà il contenuto dell' altra nel medesimo modo;
<lb/>come per essempio. Essendo la Pianta della linea B. 30. campi, si c
<lb/>erca quanto saria la Pianta A. accomoda la linea B. trasversalmente
<lb/>alli punti 30. & vedi poi a qual numero si adatti pur trasversalmente
<lb/>la linea A, & tanti campi dirai contenere la pianta di essa
<lb/>linea A.
<lb/>COME SI POSSA COSTITUIRE UNA FIGURA
<lb/>superficiale simile, & eguale à molte altre simili proposteci.
<lb/>Operatione X.
<lb/>Sianci per essempio proposte tre figure simili, delle quali
<lb/>li lati homologhi siano le linee ABC. alle quali se ne
<lb/>debba trovar una sola eguale, & pure ad esse simile; prendi
<lb/>col Compasso la lunghezza della linea C. & questa
<lb/>aperto lo Strumento applicherai a qual numero più ti piace delle
<lb/>linee Geometriche, & sia v. g. applicata alli punti 12. 12. dipoi lasciato
<lb/>lo Strumento in tal sito prendi la linea B. & vedi à che numero
<pb n="8 verso"/>
<lb/>delle medesime linee si accomodi, che sia per essempio al 9.
<lb/>& perche l'altra si era aggiustata al 12. congiugnerai questi due numeri
<lb/>9. e 12. insieme, & terrai à memoria 21. piglia dipoi la terza
<lb/>linea A. & secondo il medesimo ordine considera à qual numero
<lb/>delle medesime linee trasversalmente si adatti, & trovato v. g. adattarsi
<lb/>al 6. aggiugnerai 6. al 21. che salvasti, & haverai in tutto 27.
<lb/>Piglia dunque la distanza trasversale trà li punti 27. & haverai la
<lb/>linea D. sopra la quale facendo una figura simile à le altre 3 proposte,
<lb/>sarà ancora di grandezza alle medesime tre insieme eguale. Et
<lb/>col medesimo ordine ne potrai ridurre in una sola quante ne venissero
<lb/>proposte, pur che le proposte siano tutte simili trà di loro.
<lb/>PROPOSTE DUE FIGURE SIMILI E DISEGUALI,
<lb/>trovar la terza simile & eguale alla differenza delle due
<lb/>proposte. Operatione Xl.
<lb/>La presente
<lb/>operatione
<lb/>è il converso
<lb/>della già
<lb/>dichiarata
<lb/>nel precedente capitolo,
<lb/>& la sua operatione sarà
<lb/>in tal guisa. Sianci per
<lb/>essempio proposti 2. cerchi
<lb/>diseguali, & del maggiore
<lb/>sia diametro la linea
<lb/>AA. & del minore la
<pb n="9 recto"/>
<lb/>BB. volendo trovar il semidiametro del cerchio eguale alla differenza
<lb/>delli due AB. prendi con un Compasso la lunghezza della
<lb/>linea maggiore A. & applicala aprendo lo Strumento à qual
<lb/>punto più ti piacerà delle linee Geometriche, & sia per essempio applicata
<lb/>al numero 20. & non movendo lo Strumento, considera à
<lb/>qual punto delle medesime linee si aggiusta la linea B. & trovato
<lb/>per essempio accomodarsi al numero 8. sottratto questo di 20. resterà
<lb/>12. & presa la distanza trà li punti 12.12. haverai la linea C.
<lb/>il cui cerchio sarà eguale alla differenza delli due AB. & quello che
<lb/>si è assemplificato ne i cerchi per via de i loro semidiametri intendasi
<lb/>esser l'istesso nelle altre figure simili, operando con uno de i
<lb/>loro lati homologhi.
<lb/>ESTRAZIONE DELLA RADICE QUADRATA
<lb/>con l'aiuto delle medesime linee.
<lb/>Operatione XII.
<lb/>Tre differenti modi di operare nell'estrazion della
<lb/>radice quadrata saranno nel presente capitolo dichiarati,
<lb/>uno per li numeri mediocri, uno per li
<lb/>grandi, & il terzo per li piccioli, intendendo per
<lb/>i numeri mediocri, quelli che sono, tanto nel meno,
<lb/>quanto nel più intorno al 5000. maggiori
<lb/>quelli che sono intorno al 50000. minimi quelli che sono intorno
<lb/>al 100. & prima faremo principio da i numeri mediocri. Per estrar
<lb/>dunque, & trovar la radice quadrata di un numero mezano proposto,
<lb/>prima devesi aggiustar lo Strumento, la qual cosa sarà con l'accomodare
<lb/>trasversalmente al 16. delle linee Geometriche lo spatio
<lb/>di 40. punti, preso rettamente dalle linee Aritmetiche; dipoi
<lb/>del numero proposto leva via le due ultime figure, che dinotano
<lb/>le unità, & le decine; & quel numero che resta, prendi trasversalmente
<lb/>dalle linee Geometriche, & misuralo rettamente sopra le
<lb/>Aritmetiche, & quello che trovi sarà la radice quadrata del numero
<lb/>proposto. Come per essempio, volendo la radice di questo
<lb/>numero 4630. levate le due ultime figure, cioè il 30. resta 46.
<lb/>però piglierai trasversalmente 46. dalle linee Geometriche
<pb n="9 verso"/>
<lb/>& lo misurerai rettamente sopra le Aritmetiche, & lo troverai contenere
<lb/>punti 68. che è la prossima radice cercata.
<lb/>Mà sono in questa regola, da notarsi due cose; la prima è, che
<lb/>quando le due ultime figure, che si levano, passassero 50. devi al
<lb/>numero che resta aggiungere uno; Come se v. g. volessi pigliare la
<lb/>radice di 4192. perche il 92. dà levarsi passa 50. in luogo del 41.
<lb/>che restava, devi prendere 42. & nel resto seguire la regola di sopra.
<lb/>L'altra cautela, che si deve osservare è, che quando quello che
<lb/>resta detratte le due ultime figure, passasse 50. in tal caso, poi che la
<lb/>divisione delle linee Geometriche non si astende oltre al 50. si deve
<lb/>del numero che resta prendere la metà, overo altra parte, & questa
<lb/>distanza presa, si deve Geometricamente raddoppiare, ò secondo
<lb/>il numero della detta parte multiplicare; & quell'ultimo intervallo
<lb/>così multiplicato, misurato rettamente sopra le linee Aritmetiche,
<lb/>ti darà la radice che cerchi. Come per essempio, vogliamo la
<lb/>radice di 8412. aggiustato come è detto lo Strumento, & detratte
<lb/>le due ultime figure resta 84. il qual numero non è sopra le linee
<lb/>Geometriche; però piglierai la sua metà, cioè 42. preso dunque lo
<lb/>spatio trasversale trà li punti 42. bisognerà che Geometricamente
<lb/>sia raddoppiato, il che farai con aprir più lo Strumento sin tanto
<lb/>che il detto spatio si adatti à qualche numero, del quale sopra le
<lb/>medesime linee ve ne sia uno doppio, come v. g. saria adattandolo
<lb/>al 20. pigliando poi l'intervallo trà li punti 40. il quale misurato
<lb/>finalmente sopra le Linee Aritmetiche, ti mostrerà 91. e due terzi,
<lb/>in circa, prossima radice del numero 8412. proposto. Et se ti fusse
<lb/>bisognato del numero dato pigliare la terza parte, nel triplicarla
<lb/>poi Geometricamente, l'applicherai trasversalmente ad un numero
<lb/>delle linee Geometriche, del quale ve ne sia un altro triplo, come
<lb/>saria al 10. per pigliare il 30. ò al 12. per pigliar il 36.
<lb/>Quanto al modo di procedere per i numeri maggiori, non si
<lb/>haverà altra differenza dal modo precedente, se non nell'aggiustar
<lb/>lo Strumento, & nel levar dal dato numero le tre ultime note;
<lb/>& l'aggiustar lo Strumento si farà pigliando 100. rettamente dalle
<lb/>linee Aritmetiche, aggiustandolo poi trasversalmente alli punti
<lb/>10. 10. delle Geometriche: il che fatto volendo v. g. la radice quadrata
<lb/>di 32140. tolte le tre ultime figure, resta 32. & questo piglierai
<pb n="10 recto"/>
<lb/>trasversalmente dalle linee Geometriche, che misurato rettamente
<lb/>sopra le Aritmetiche ti mostrerà 179. prossima radice di
<lb/>32140. avvertendo che l'istesse cautele notate nell'operazione precedente,
<lb/>si devono per l'appunto osservare in questa, cioè che quando
<lb/>le tre figure che si detraggono passano 500. si hà da aggiunger'
<lb/>uno à quello che resta; & se quel che resta passa 50. se ne pigliarà
<lb/>una parte, cioè la metà ò il terzo, &c. dupplicando, ò triplicando
<lb/>al modo dichiarato quello che haverai per la detta parte preso.
<lb/>Per li numeri minori aggiusterai lo Strumento, secondo il primo
<lb/>modo, cioè con buttare 40. à 16. pigliando poi trasversalmente dalle
<lb/>linee Geometriche il numero proposto senza levarne figura alcuna,
<lb/>perche misurando rettamente il detto spatio sopra le linee Geometriche,
<lb/>troverai la radice cercata in numero intero, & in frazione;
<lb/>mà nota che le decine delle linee Aritmetiche ti devono servire per
<lb/>unità, & le unità per decimi di unità. Come per essempio vogliamo
<lb/>la radice di 30. aggiusta lo Strumento come è detto, buttando
<lb/>40. preso dalle linee Aritmetiche rettamente al 16. delle Geometriche
<lb/>trasversalmente, dalle quali preso transversalmente la distanza
<lb/>delli punti 30. misurandola rettamente sopra le Aritmetiche, troverai
<lb/>punti 55. che importano 5 interi, & 5. decimi cioè 5. e mezo
<lb/>quanta è la prossima radice di 30. avvertendo che in questa regola
<lb/>ancora si devono osservare li avvertimenti, & cauzioni nelle altre
<lb/>due regole insegnate.
<lb/>REGOLA PER LE ORDINANZE DE GLI
<lb/>esserciti di fronte, & fianco diseguali.
<lb/>Per le ordinanze di fronte eguale al fianco ci servirà
<lb/>come è manifesto l'estrarre la radice quadrata
<lb/>del numero de i soldati propostoci. Mà quando
<lb/>volessimo formare un'ordinanza, con una moltitudine
<lb/>assegnata di soldati, della quale la fronte,
<lb/>& il fianco non fussero eguali; mà si rispondessero
<lb/>in una data proporzione, Allora, per risolvere il quesito, ci bisogna
<lb/>in altra maniera procedere, operando nel modo, che nel seguente
<lb/>essempio si dichiara.
<pb n="10 verso"/>
<lb/>Sendoci dunque ordinato, che ritroviamo la fronte, & il fianco
<lb/>di 4335. soldati messi in ordinanza in maniera, che per ogni cinque
<lb/>che saranno nella fronte, ne siano 3. nel fianco; Allora, per conseguir
<lb/>l'intento con l'aiuto del nostro Strumento, prima considerando
<lb/>i numeri della proportione assegnataci esser 5. e 3. aggiungendo
<lb/>à ciascuno di loro un, o, fingeremo che importino 50. & 30. &
<lb/>per trovar la fronte, prenderemo rettamente con un Compasso
<lb/>50. dalle linee Aritmetiche, & quest'intervallo accomoderemo
<lb/>trasversalmente alle linee Geometriche, & à quel numero, che si
<lb/>produce dalla moltiplicatione trà di loro de i numeri della proporzione
<lb/>assegnata, cioè (nel presente essempio) al 15. & lasciato lo
<lb/>Strumento in tale stato, si prenderà trasversalmente pur nelle medesime
<lb/>linee Geometriche, la distanza trà li punti segnati dal numero
<lb/>che resta, detratte le decine & unità dal numero de i soldati
<lb/>propostoci, che nel presente essempio è 43. & misurato tale intervallo
<lb/>rettamente sopra le linee Aritmetiche, ci darà la fronte di tale
<lb/>ordinanza, che sarà soldati 85. & col medesimo ordine troveremo
<lb/>il fianco pigliando rettamente 30. dalle linee Aritmetiche, &
<lb/>buttandolo trasversalmente al 15. delle Geometriche, & da esse
<lb/>immediatamente pigliando, pur trasversalmente, l'intervallo trà li
<lb/>punti 43. 43. il quale misurato rettamente sopra le linee Aritmetiche
<lb/>ci darà 51. per il fianco, & il medesimo ordine si terrà in ogni
<lb/>altra moltitudine di soldati, & in qualunque altra proportione assegnataci;
<lb/>avvertendo, che si come si disse nella radice quadrata,
<lb/>quando le unità, & decine che si levano dal numero proposto,
<lb/>passassero 50. si deve alle centinaia, che restano aggiugnere uno di
<lb/>più &c. Nè voglio tacere come trovata che si sarà la fronte, secondo
<lb/>la regola già dichiarata, si potria con altra regola più spedita,
<lb/>& con le sole linee Aritmetiche trovar il fianco in questa forma operando;
<lb/>Già nell' essempio addotto fu trovato 85. per la fronte,
<lb/>& furno i numeri della proportione 5. & 3. che è quanto se si dicesse
<lb/>50. e 30. overo 100. & 60. &c. però quello 85. preso rettamente
<lb/>dalle linee Aritmetiche accomodisi trasversalmente al 100. delle
<lb/>medesime, & piglisi immediatamente l'intervallo pur trasversale
<lb/>trà li punti 60. 60. delle medesime linee, il quale misurato rettamente
<lb/>ci mostrerà il medesimo numero 51. che nell'altra maniera di
<pb n="11 recto"/>
<lb/>operare fu ritrovato, & questa operatione, che sotto l' essempio
<lb/>delle ordinanze, haviamo dichiarata, intendasi esser la regola di
<lb/>uno de i Capitoli di Algebra, cioè de i censi eguali al numero, onde
<lb/>tutti i quesiti che per esso si risolvono, si scioglieranno anco, operando
<lb/>col nostro Strumento nella maniera già dichiarata.
<lb/>INVENZIONE DELLA MEDIA PROPORTIONALE
<lb/>per via delle medesime linee.
<lb/>Operatione XIIII.
<lb/>Con l' aiuto di queste linee, & loro divisioni, potremo
<lb/>trà due linee, overo due numeri dati trovare con
<lb/>gran facilità la linea ò il numero medio proportionale
<lb/>in questa maniera; Siano li due numeri, overo
<lb/>le due linee misurate proposteci, l'uno 36. &
<lb/>l'altro 16. & presa col Compasso la lunghezza dell'una v. g. della
<lb/>36. applicala aprendo lo Strumento, alli punti 36. delle linee Geometriche,
<lb/>& non movendo lo
<lb/>Strumento, prendi l'intervallo
<lb/>trà li punti 16. 16. delle
<lb/>medesime linee, il quale misurato
<lb/>sopra la medesma scala
<lb/>troverai esser punti 24. quanto appunto è il numero proportionale
<lb/>trà 36. & 16. & nota che per misurar le linee proposte, potremo
<lb/>servirci non solo della scala notata sopra lo Strumento, mà
<lb/>di qualunque altra ancora, quando quella dello Strumento fusse
<lb/>troppo piccola per il nostro bisogno.
<lb/>Notando in oltre, che quando le linee, & i numeri che le misurano
<lb/>trà li quali vogliamo trovare il medio proportionale, fussero
<lb/>assai grandi, siche passassero il 50. che è il maggiore numero
<lb/>notato sopra le nostre linee Geometriche, si potrà nondimeno
<lb/>conseguir l'intento operando con parti de i proposti numeri
<lb/>ò con altri minori di essi mà che habbino la medesima proportione,
<lb/>che hanno li primi, & la regola sarà in questo modo. Vogliamo
<lb/>verbi gratia, pigliare il numero medio proportionale frà 144. &
<lb/>81. li quali eccedono ambidue il cinquanta. Piglisi dalle linee
<pb n="11 verso"/>
<lb/>Aritmetiche 144. rettamente per applicarlo trasversalmente alle
<lb/>linee Geometriche; mà perche in esse non vi è numero così grande,
<lb/>piglierò imaginariamente una parte di esso numero 144. come
<lb/>saria v. g. il terzo, cioè 48. & l'intervallo già preso applicherò trasversalmente
<lb/>alli punti 48. delle linee Geometriche. Dipoi
<lb/>imaginata la terza parte di 81. che fù l'altro numero
<lb/>dato, la quale è 27. piglierò tal numero pur
<lb/>trasversalmente dalle medesime
<lb/>linee Geometriche,
<lb/>& questo,
<lb/>misurato rettamente sopra le Aritmetiche,
<lb/>mi darà il medio proportionale
<lb/>ricercato, cioè
<lb/>108.
<pb n="12 recto"/>
<lb/>DELLE LINEE
<lb/>STEREOMETRICHE
<lb/>E PRIMA
<lb/>COME COL MEZO DI ESSE SI POSSlN' CRESCERE,
<lb/>ò diminuire li corpi solidi simili secondo la data
<lb/>proportione. Operatione XV.
<lb/>Sono le presenti linee Stereometriche così dette, per esser
<lb/>la lor divisione, secondo la proportione de i corpi
<lb/>solidi, sino à 148. e da esse trarremo molti usi, il primo
<lb/>de i quali sarà il già proposto, cioè come dato un lato
<lb/>di qual si voglia corpo solido si possa trovare il lato d' un altro, che
<lb/>ad esso habbia una data proportione; come per essempio, sia la linea
<lb/>A. diametro v. g. d' una sfera, ò palla per dirlo più vulgarmente;
<lb/>ò vero lato d'un cubo, ò altro solido, & siaci proposto di dover
<lb/>trovar il diametro, ò lato d' un altro, che à quello habbia la proportione
<lb/>che hà 20. à 36. piglia col Compasso la linea A. & aprendo
<lb/>lo Strumento applicala al punto 36. delle linee Stereometriche,
<lb/>il che fatto prendi immediatamente l'intervallo trà li punti 20. 20.
<lb/>che sarà la linea B. diametro, ò lato del solido all'altro, il cui lato A.
<lb/>nella proportione data di 20. à 36.
<lb/>PROPOSTI DUE SOLIDI SIMILI, TROVARE
<lb/>qual Proportione habbino frà di loro. Oper. XVI.
<lb/>Non è la presente operatione molto differente dalle dichiarate
<lb/>di sopra, & puossi con gran facilità risolvere. Quando dunque
<lb/>ci venissero proposte le due linee. AB. & dimandato qual proportione
<pb n="12 verso"/>
<lb/>habbino frà di loro i lor solidi simili, prenderemo una di
<lb/>esse col Compasso, & sia v. g. presa l'A. la quale applicheremo aprendo
<lb/>lo Strumento,à qualche numero delle presenti linee, & sia applicata.
<lb/>v. g. al 50. 50. & subito presa la lunghezza dell'altra linea
<lb/>B. veggasi à qual numero si accomodi, & trovato adattarsi per
<lb/>essempio al 21. diremo il solido A. al solido B. havere la proportione
<lb/>di 50. à 21.
<lb/>PROPOSTI SOLIDI SIMILI QUANTI NE
<lb/>piacerà trovarne un solo eguale à tutti quelli.
<lb/>Operatione XVll.
<lb/>Siano proposte le tre linee ABC. lati di trè solidi simili,
<lb/>vogliamo trovarne uno eguale à tutti quelli; per ilche
<lb/>fare, prendasi con un Compasso la linea A. quale
<lb/>s'applichi à qualche punto delle linee Stereometriche,
<lb/>& sia, per essempio al punto 30. & non movendo lo Strumento
<lb/>considera à qual
<lb/>numero s'adatti la
<lb/>linea B. & trovato per
<lb/>essempio adattarsi al 12.
<lb/>aggiugni questo numero al
<lb/>numero 30. già detto, fà 42. il
<lb/>qual numero terrai a memoria; presa
<lb/>dipoi con un Compasso la linea C. considera
<lb/>à qual numero delle medesime linee
<lb/>s'accomodi, & sia per essempio al 6. & congiunto
<lb/>questo numero con l'altro 42. haveremo 48. siche pigliando
<lb/>l'intervallo trà li punti 48. 48. sarà trovata la linea D. il cui solido
<lb/>sarà eguale alli trè proposti ABC.
<pb n="13 recto"/>
<lb/>ESTRAZIONE DELLA RADICE CUBA.
<lb/>Operatione XVIII.
<lb/>Due modi differenti dichiareremo per l'investigazione della
<lb/>Radice Cuba di qualunque proposto numero: Il
<lb/>primo ci servirà per i numeri mediocri, & l'altro per i
<lb/>massimi: intendendo per numeri mediocri quelli da i
<lb/>quali tratte le unità, decine, & centinaia li numeri che restano non
<lb/>eccedono il 148. per l'estrazione della radice Cuba de i quali, prima
<lb/>s'aggiusterà lo Strumento, con l' applicare trasversalmente alli
<lb/>punti 64. delle linee Stereometriche il 40. preso rettamente dalle
<lb/>linee Aritmetiche: & fatto questo, leva le 3. ultime note dal numero
<lb/>proposto, & piglia quel che resta dalle linee Stereòmetriche
<lb/>trasversalmente, & misuralo rettamente sopra le Aritmetiche, &
<lb/>quello che trovi sarà la radice Cuba del numero proposto; Come,
<lb/>v. g. cerchiamo la radice Cuba di 80216. aggiustato come s'è detto
<lb/>lo Strumento, e tolte via le tre ultime note resta 80. piglia dunque
<lb/>trasversalmente 80. dalle linee Stereometriche, & misuralo
<lb/>rettamente sopra le Aritmetiche, e troverai 43. quanta è la radice
<lb/>prossima del dato numero, & nota; che quando detratte le trè ultime
<lb/>note, restasse più di 148. che è il maggior numero delle Stereometriche,
<lb/>allora potrai operare per parti. Come per essempio
<lb/>si cerca la radice Cuba di 185840, & perche detratte le ultime 3 note
<lb/>840. resta 186. (dico 186. ben che resti 185. perche le centinaia delle
<lb/>3. note detratte sono più di 5. cioè più di mezo migliaio onde,
<lb/>pigliandolo per un migliaio intero fò, che quel che resta sia 186. cioè
<lb/>uno di più) che eccede il 148. piglieremo la sua metà, cioè 93. trasversalmente
<lb/>dalle Stereometriche già aggiustate, & questo spazio
<lb/>preso si doverà Stereometricamente duplicare, cioè applicarlo à
<lb/>qualche numero delle medesime Stereometriche trasversalmente del
<lb/>qual ne sia uno doppio, & questo preso pur trasversalmente, & misuratolo
<lb/>sopra la scala Aritmetica, sarà la radice che si cercava.
<lb/>Stando dunque nell'esempio proposto, applicheremo lo spazio, trà li
<lb/>punti 93. già preso v. g. al 40. delle linee Stereometriche pigliando poi
<lb/>l' 80. che misurato sopra le linee Aritmetiche ci mostrerà 57. ch' è la prossima radice
<lb/>del numero proposto. L' altro modo di operare per li numeri massimi sarà
<pb n="13 verso"/>
<lb/>con aggiustare lo Strumento applicando la distanza di 100. punti
<lb/>presa rettamente dalle linee Aritmetiche al 100. delle Stereometriche
<lb/>trasversalmente, & sarà aggiustato. Dipoi dal proposto numero
<lb/>devi levare le quattro ultime note, & il numero, che resta
<lb/>prendere trasversalmente da esse linee Stereometriche, & misurarlo
<lb/>rettamente sopra le Aritmetiche; come per essempio sendoci proposto
<lb/>il numero 1404988. havendo già aggiustato lo Strumento al
<lb/>modo detto, & detratte le quattro ultime note, resta 140. il qual
<lb/>numero preso trasversalmente dalle linee Stereometriche, & misurato
<lb/>rettamente sopra l'Aritmetiche ci darà 112. radice prossima del
<lb/>numero proposto. non ci scordando, che quando le tre note rimanenti
<lb/>importassero più di 148. numero maggiore delle nostre linee,
<lb/>si deve operare per parti, come nell'altra regola superiore fù
<lb/>avvertito.
<lb/>INVENZIONE DELLE DUE MEDIE PROPORZIONALI.
<lb/>Operazione XlX.
<lb/>Quando ci fussero proposti due numeri, ò
<lb/>due linee misurate, trà le quali dovessimo
<lb/>trovare due altre medie proportionali
<lb/>potremo ciò esseguire facilmente col mezo delle
<lb/>presenti linee, & ciò con questo essempio si farà
<lb/>chiaro. Dove ci vengono proposte le
<lb/>due linee A. D. delle quali l' una sia per
<lb/>essempio 108. & l' altra 32. & presa
<lb/>la maggiore con un Compasso
<lb/>adattisi aperto lo Strumento alli numeri
<lb/>108. 108. & poi prendasi l'intervallo
<lb/>trà li punti 32. 32. il quale sarà
<lb/>la lunghezza della seconda linea
<lb/>B. che misurata con la medesima scala,
<lb/>con la quale furono misurate le
<lb/>proposte linee si troverà esser 72, &
<lb/>per trovarne la terza linea C. adattisi pure di nuovo sopra le medesime
<lb/>linee Stereometriche, la linea B. alli punti 108. 108. & tornisi
<pb n="14 recto"/>
<lb/>di nuovo à pigliare la distanza trà li punti 32. 32. che tale sarà
<lb/>la grandezza della terza linea C. & misurata sopra la medesima
<lb/>scala si troverà essere punti 48. & notisi, che non è necessario il
<lb/>prender prima la maggior linea, più che la minore, mà nell'uno,
<lb/>& nell'altro modo operando sempre si troverà l'istesso.
<lb/>COME OGNI SOLIDO PARALLELEPIPEDO
<lb/>si possa col mezo delle linee Stereometriche ridurre in
<lb/>Cubo. Operatione XX.
<lb/>Siaci proposto il solido parallelepipedo, le cui dimensioni
<lb/>siano diseguali, cioè 72. 32. &84. Cercasi il lato
<lb/>del Cubo ad esso eguale. Piglia il medio proportionale
<lb/>frà 72. & 32. nel modo dichiarato di sopra nell'Operazione 14.
<lb/>Cioè piglia 72. rettamente dalla scala Aritmetica, e buttalo trasversalmente
<lb/>al 72. delle linee Geometriche, ma perche non vanno
<lb/>tant' oltre buttalo alla metà, cioè al 36. & subito prendi pur trasversalmente
<lb/>l' altro numero dalle medesime linee, cioè 32. anzi
<lb/>pur per dir meglio piglia la sua metà, cioè il 16. (havendo buttato
<lb/>il primo 72. alla sua metà parimente) & questo che troverai sarà come
<lb/>è manifesto il numero medio proportionale trà 72. & 32.
<lb/>misuralo dunque sopra le linee Aritmetiche, & lo troverai esser
<lb/>48. Onde lo butterai trasversalmente à questo medesimo numero
<lb/>48. delle linee Stereometriche, & senza muovere poi lo Strumento
<lb/>prendi pur trasversalmente il terzo numero del solido proposto,
<lb/>cioè l' 84. & sarà finita l'operatione, perche facendo
<lb/>questa tal linea lato di un Cubo quello sarà veramente
<lb/>eguale al solido proposto, & misurandola
<lb/>sopra la scala Arithmetica
<lb/>la troverai
<lb/>esser
<lb/>57. & mezo, in
<lb/>circa.
<pb n="14 verso"/>
<lb/>ESPLICATIONE
<lb/>DELLE LINEE
<lb/>METALLICHE
<lb/>Notate appresso le Stereometriche. Operatione XXI.
<lb/>Sono le presenti linee segnate con alcune divisioni alle
<lb/>quali sono aggiunti questi caratteri: Or, Pi, Ar. Ra.
<lb/>Fe, St. Ma. Pie. Che significano Oro, Piombo, Argento,
<lb/>Rame, Ferro, Stagno, Marmo, Pietra, dalle
<lb/>quali si hanno le proporzioni, e differenze di peso, che si trovano
<lb/>frà le materie in esse notate, in guisa che costituito lo Strumento
<lb/>in qual si voglia apertura gl' intervalli, che cascano frà i punti l'uno
<lb/>all'altro corrispondenti vengono ad esser diametri di palle, ò lati
<lb/>d'altri corpi trà loro simili, & eguali di peso; cioè che tanto sarà il
<lb/>peso d'una palla d'oro, il cui diametro sia eguale alla distanza Or.
<lb/>Or. quanto d'una di Piombo, il cui diametro sia l'intervallo trà li
<lb/>punti Pi. Pi., ò una di Marmo, il cui diametro sia la distanza trà li
<lb/>punti Ma. Ma. Dalche possiamo in un'istante venir' in cognizione
<lb/>quanto grande si doveria far un corpo d'una delle sopranotate
<lb/>materie, acciò fosse in peso eguale ad un'altro simile, mà di altra
<lb/>delle materie dette, la qual operazione addimanderemo trasmutazione
<lb/>della materia, come se per essempio la linea A. fosse diametro
<lb/>d'una palla di stagno, & noi volessimo trovare il Diametro
<lb/>d'un' altra d' oro, à quella in peso eguale; prenderemo con un Compasso
<lb/>la linea A, & questa applicata, aprendo lo Strumento alli
<lb/>punti St. St.
<lb/>piglieremo
<lb/>immediate
<lb/>l' intervallo
<lb/>trà li punti
<lb/>Or. Or. & tale sarà il Diametro della palla di Oro, cioè la linea B.
<lb/>eguale all' altra di stagno, & il medesimo intendasi di tutti gli altri
<pb n="15 recto"/>
<lb/>corpi solidi, & delle altre materie notate. Ma se congiugneremo
<lb/>l' uso di queste linee con quello delle precedenti ne caveremo molte
<lb/>comodità maggiori come di sotto si dichiarerà, & prima
<lb/>CON LE LINEE PREDETTE POTREMO RITROVAR
<lb/>la proporzione, che hanno in peso trà di loro tutti li
<lb/>metalli, & altre materie nelle linee Metalliche notate.
<lb/>Oper. XXII.
<lb/>Vogliamo per essempio trovare qual proporzione
<lb/>habbino frà di loro in peso questi due Metalli Argento,
<lb/>& Oro; prendi con un Compasso la distanza
<lb/>trà 'l centro dello Strumento, & il punto notato
<lb/>Ar. & questa, aperto lo Strumento, applica à qual
<lb/>più ti piace de i numeri delle linee Stereometriche,
<lb/>& sia per essempio applicata alli punti 100. 100. dipoi, senza punto
<lb/>muover lo Strumento, piglia la distanza trà 'l centro del medesimo
<lb/>Strumento, & il punto, Or. & questa vedi à che numero s'accomodi
<lb/>sopra le linee Stereometriche. & trovato per essempio adattarsi
<lb/>alli punti 60.60. dirai la proporzione del peso dell'oro, à
<lb/>quello dell' argento esser in spezie, come 100. à 60. Et nota, che nell'
<lb/>operare li diametri presi, & applicati alle linee Stereometriche ti
<lb/>mostreranno la proporzione in peso de i loro metalli permutatamente,
<lb/>cioè, come, nell'addotto essempio s'è veduto, dal diametro
<lb/>dell' argento ti viene denotato il peso dell' oro, & da quello dell'
<lb/>oro il peso dell'argento; & così venghiamo ad intendere come
<lb/>l'oro è più grave dell'argento à ragione di 40. per 100. essendo,
<lb/>che 40. è la differenza trà li due pesi ritrovati per l'oro, & per l'argento.
<lb/>Dalche possiamo venir in cognizione della resoluzione d'un
<lb/>quesito molto bello, che è, propostaci qual si voglia figura di una
<lb/>delle materie notate nelle linee Metalliche, trovare quanta di un'
<lb/>altra delle dette materie ve ne bisognerà per formarne un'altra à
<lb/>quella eguale. Come v. g. habbiamo una Statua di marmo, vorremmo
<lb/>sapere quanto argento v' anderia per farne una della medesima
<lb/>grandezza; per ilche trovare, farai pesare quella di marmo,
<lb/>& sia il suo peso v. g. 25. libre, poi piglia la distanza trà 'l centro
<pb n="15 verso"/>
<lb/>dello Strumento, & il punto Ar. che è la materia della statua futura,
<lb/>& questo applicherai aprendo lo Strumento alle linee Stereometriche,
<lb/>& al punto segnato col numero del peso della statuetta,
<lb/>cioè alli punti 25. 25. & non movendo lo Strumento piglierai
<lb/>la distanza trà 'l centro, & il punto Ma. & questa vedrai à che
<lb/>numero pur trasversalmente delle linee Stereometriche si accomodi,
<lb/>& trovato come s' adatta alli punti 96. 96. dirai 96. libre d'argento
<lb/>esser necessarie per fare la statua eguale in grandezza all' altra
<lb/>di Marmo.
<lb/>CONGlUGNENDO GLI USI DELLE LINEE
<lb/>Metalliche, & Stereometriche, dati due lati di due solidi simili,
<lb/>& di diverse materie trovare qual proporzione
<lb/>habbino frà di loro detti solidi in peso. Oper. XXIII.
<lb/>È la linea A. diametro d' una palla di Rame, e la B. diametro
<lb/>di una di Ferro, vorremmo sapere qual proporzione
<lb/>hanno fra di loro in peso, prendi col Compasso la linea A.
<lb/>&
<lb/>aperto lo
<lb/>Strumento
<lb/>applicala
<lb/>alli punti delle
<lb/>linee Metalliche
<lb/>segnati
<lb/>Ra. Ra. & senza alterare tal apertura prendi immediatamente la
<lb/>distanza trà li punti Fe. Fe. che sarà quanto la linea X. la quale se
<lb/>sarà eguale alla B. diremo li due solidi A. B. essere di peso eguali,
<lb/>mà trovata la X. diseguale alla B. & essendo diametro d'una palla
<lb/>di ferro eguale in peso all' A. è manifesta cosa, che la medesima
<lb/>differenza sarà trà le due palle A, B. che è trà l'X . B. & perche X.
<lb/>& B. sono della medesima materia troverassi la loro differenza facilmente
<lb/>con le linee Stereometriche, come di sopra nell'Oper. 16.
<lb/>s' è dichiarato, cioè prenderemo la linea X. & l'applicheremo aprendo
<lb/>lo Strumento à qualche numero, come v. g. al 30. il che fatto si
<pb n="16 recto"/>
<lb/>considererà a quale s'aggiusti la linea B. & trovato per essempio
<lb/>accomodarsi al 10. diremo la palla di Rame A. esser tripla della
<lb/>di Ferro B.
<lb/>Il converso della precedente operazione si potrà con pari facilità
<lb/>con le medesime linee ritrovare; cioè; come; dato il peso, & il
<lb/>diametro, ò lato d'una palla, ò altro solido di una delle materie
<lb/>notate sopra lo Strumento, si possa trovare la grandezza d' un altro
<lb/>solido simile, & di qualunque altra delle dette materie, & che
<lb/>pesi qual si voglia peso propostoci. Come per essempio, essendo
<lb/>la linea X. Diametro d'una palla di Marmo che pesa 7. libre, trovisi
<lb/>il diametro d' una di Piombo, che ne pesi 20. Qui si vede come
<lb/>doviamo fare due operazioni, l'una trasmutare il Marmo, in Piombo,
<lb/>& l' altra crescere il peso di 7. sino al 20. La prima operazione
<lb/>si farà con le linee Metalliche, accomodando il Diametro X. alli
<lb/>punti del Marmo trasversalmente, pigliando poi senza muover lo
<lb/>Strumento l'intervallo trà li punti del Piombo, che sarà la grandezza
<lb/>del solido di Piombo, che peserebbe quanto il proposto di
<lb/>Marmo, cioè libre 7. ma perche volevamo libre 20. ricorreremo
<lb/>all'aiuto delle linee Stereometriche, & applicato questo intervallo
<lb/>trasversalmente alli punti 7. 7. prenderemo subito la distanza
<lb/>pur trasversale trà li punti 20. che sarà eguale alla linea D. la quale
<lb/>senza dubio verrà ad esser il lato della figura solida di Piombo,
<lb/>che peserà libre 20.
<lb/>COME QUESTE LINEE CI SERVONO PER
<lb/>calibro da Bombardieri accomodato universalmente à
<lb/>tutte le palle di qual si voglia materia, & à tutti
<lb/>li pesi. Oper. XXIIII.
<lb/>Manifestissima cosa è diverso esser il peso di diverse materie,
<lb/>& assai più grave esser il Ferro della Pietra, & il Piombo
<lb/>del Ferro, dalche ne seguita, che dovendosi tirare
<lb/>con l' artigliaria tall'hora palle di Pietra, altre volte
<lb/>di Ferro, ò ancora di Piombo, il medesimo pezzo, che porti tanto di
<lb/>palla di Piombo, porterà meno di Ferro, & molto meno di Pietra,
<lb/>& che per conseguenza diverse cariche per le diverse palle se li
<pb n="16 verso"/>
<lb/>dovranno dare; laonde quelle sagome, ò colibri sopra i quali fussero
<lb/>notati i diametri delle palle di Ferro con li pesi loro non potranno
<lb/>servirci per le palle di Pietra, mà bisognerà che le misure di
<lb/>detti diametri s' accreschino, ò diminuischino, secondo le diverse
<lb/>materie. In oltre è manifesto, che appresso diversi paesi s'usano
<lb/>diversi pesi; anzi che non solamente in ogni provincia, mà quasi
<lb/>in ogni Città sono differenti, dalche ne seguita, che quel Calibro,
<lb/>che fusse accomodato al peso d'un luogo, non potrà servirne al peso
<lb/>d'un altro, mà secondo che le libre saranno maggiori, ò minori in uno,
<lb/>ch' in un altro luogo bisognerà che le divisioni del calibro ottenghino
<lb/>maggiori, ò minori intervalli; dalche possiamo concludere che un
<lb/>Calibro che si adatti ad ogni sorte di materia, & ad ogni differenza
<lb/>di peso bisogna che per necessità sia mutabile, cioè che si possa crescere,
<lb/>& diminuire, & tale apunto è quello, che nel nostro Strumento vien
<lb/>segnato; perche aprendo più, ò meno si crescono, ò diminuiscono
<lb/>gl' intervalli, che trà le divisioni d' esso si ritrovano senza punto alterar
<lb/>le loro proporzioni, & havendo tali cose in universale dichiarate,
<lb/>passeremo all' applicazione particolare di questo Calibro à tutte
<lb/>le differenze di pesi, & à tutte le materie diverse; Et perche non
<lb/>si può venir' in cognizione d'alcuna cosa ignota senza il mezo di
<lb/>qualch' altra conosciuta, fa di mestiero, che ci sia noto un solo diametro
<lb/>d'una palla di qual si voglia materia, & di qual si voglia peso
<lb/>rispondente alle libre, che nel paese dove vogliamo usare lo Strumento
<lb/>si costumano: dal qual solo diametro verremo, col mezo
<lb/>del nostro Calibro in cognizione del peso di qual si voglia altra
<lb/>palla, & di qualunque altra materia, intendendo però delle materie
<lb/>sopra lo Strumento notate, & il modo di conseguir tal cognizione
<lb/>faremo facilmente con un'esempio manifesto. Supponghiamo
<lb/>v. g. esser in Venezia, & di voler quivi servirci del nostro Calibro
<lb/>per riconoscer la portata d' alcuni pezzi d' artiglieria; prima
<lb/>procureremo d'haver il diametro, & il peso di una palla di alcuna
<lb/>delle materie sopra detto Strumento segnate; & per essempio supporremo
<lb/>d'haver' il diametro d'una palla di Piombo di libre 10.
<lb/>al peso di Venezia, il qual diametro noteremo con due punti nella
<lb/>costa d'un' asta dello Strumento; quando dunque vorremo accomodare,
<lb/>& aggiustare il Calibro in maniera, che presa la bocca
<pb n="17 recto"/>
<lb/>d'un pezzo d'artiglieria, & trasportata sopra esso Calibro conosciamo
<lb/>quante libre di palla di Piombo essa porti, non dovremo
<lb/>far' altro salvo che prender col Compasso quel diametro di 10.
<lb/>libre di piombo già sopra la costa dello Strumento segnato, & aprir
<lb/>poi lo Strumento tanto, che detto diametro s' aggiusti alli
<lb/>punti delle linee Stereometriche segnati 10. 10. le quali così aggiustate
<lb/>ci serviranno per Calibro esattissimo, talche preso il diametro
<lb/>della bocca di qual si voglia Artiglieria, & trasferitolo sopra detto
<lb/>Calibro, dal numero de i punti a i quali s'adatterà conosceremo
<lb/>quante libre di palla di piombo porti la detta Artiglieria.
<lb/>Mà se volessimo aggiustare lo Strumento, siche il Calibro rispondesse
<lb/>alle palle di Ferro, allora prenderemo pur l'istesso diametro
<lb/>delle 10. libre di piombo sopra la costa notato, & dipoi l'applicheremo
<lb/>a i punti delle linee Metalliche segnati Pi. Pi. & senza alterare
<lb/>lo Strumento piglieremo con un Compasso l'intervallo trà
<lb/>i punti segnati Fe. Fe., il quale sarà il diametro d'una palla di ferro di
<lb/>10. libre; & questo diametro, aprendo ln Strumento, s'applicherà
<lb/>à i punti delle linee Stereometriche segnati 10. 10. & allora saranno
<lb/>dette linee esquisitamente accomodate per Calibro delle palle
<lb/>di ferro, & con simile operazione si aggiusterà per le palle di pietra.
<lb/>Et notisi che occorrendoci notare sopra la costa dello Strumento
<lb/>diversi diametri di palle rispondenti alle libre di varii paesi, per
<lb/>fuggire la confusione noteremo sempre diametri di palle di piombo
<lb/>di 10. libre di peso, li quali troveremo esser maggiori, ò minori
<lb/>secondo la diversità delle libre, & il segnare tali diametri senza obligarci
<lb/>à ritrovare attualmente palle di piombo di 10. libre di peso
<lb/>non ci sarà difficile per quello che di sopra nella operazione 23.
<lb/>si è insegnato; dove dato un diametro d'una palla di qual si voglia
<lb/>peso, & di qualunque materia s'è veduto come si trovi il diametro
<lb/>d' un' altra d' ogni altro peso, & di qual si voglia altra materia,
<lb/>intendendo però sempre delle materie sopra le linee Metalliche
<lb/>notate; tal che, ritrovandoci noi in qual si voglia paese, pur che
<lb/>troviamo una palla di Marmo, di Pietra, ò d' altra materia sopra
<lb/>lo Strumento segnata, potremo in un subito investigare
<lb/>il diametro d'una palla di piombo
<lb/>di 10. libre di peso.
<pb n="17 verso"/>
<lb/>COME PROPOST0 UN CORPO DI QUAL SI
<lb/>voglia materia possiamo ritrovare tutte le misure particolari
<lb/>di uno d'altra materia, & che pesi un dato peso.
<lb/>Operazione XXV.
<lb/>Tra gli usi che da queste medesime linee si possono
<lb/>cavare uno è questo, col quale possiamo crescere,
<lb/>ò diminuire le figure solide secondo qual si
<lb/>voglia proporzione non mutando, overo mutando
<lb/>la materia; il che dal seguente essempio s'intenderà.
<lb/>Ci viene presentato un piccolo modello
<lb/>d'Artiglieria fatto v. g. di stagno, & noi haviamo bisogno di cavare
<lb/>da tal modello tutte le misure particolari per un pezzo grande
<lb/>fatto di Rame, & che pesi per essempio 5000. libre.
<lb/>Prima faremo pesare il piccolo modello di stagno, & sia il suo
<lb/>peso libre 17. Dipoi prenderemo una delle sue misure qual più ci
<lb/>piacerà, & sia v. g. la sua grossezza alla gioia; la quale applicheremo
<lb/>aprendo lo Strumento alli punti St. St. delle linee Metalliche
<lb/>(essendo questa la materia del modello propostoci) & perche il
<lb/>pezzo grande deve farsi di Rame prenderemo immediatamente
<lb/>la distanza trà li punti Ra. Ra. la quale saria la grossezza della gioia
<lb/>d'una Artigliaria di Rame, quando quella dovesse pesare quanto
<lb/>l'altra di stagno; mà perche deve pesare libre 5000. & non 17. come
<lb/>l'altra, però ricorreremo alle linee Stereometriche, sopra le quali
<lb/>applicheremo quell'intervallo pur hora preso trà li punti Ra. Ra.
<lb/>alli punti segnati 17. 17. & non movendo lo Strumento piglieremo
<lb/>l' intervallo de i punti 100. 100. che saria la grossezza alla gioia
<lb/>d'un pezzo di 100. libre di peso; mà noi vogliamo che sia di libre
<lb/>5000. però questa distanza si deve augumentare secondo la
<lb/>proporzione quinquagecupla; onde aprendo più lo Strumento
<lb/>la metteremo à qualche numero del quale ve ne sia un altro 50.
<lb/>volte maggiore; come saria se l'applicassimo alli punti 2. 2. pigliando
<lb/>poi l'intervallo trà li punti 100. 100. il quale senz'alcun
<lb/>dubbio sarà la misura della grossezza, che deve darsi alla gioia.
<lb/>Et con tal' ordine si ritroveranno tutte le misure particolari di tutti
<pb n="18 recto"/>
<lb/>li altri membri come della gola, de gli orecchioni, della culatta, &c.
<lb/>Ne meno resteremo di ritrovare la lunghezza dell'Artigliaria
<lb/>ancor chè non possiamo aprire il nostro Strumento sino à tanto
<lb/>spazio; & per trovarla, del piccolo modello non piglieremo l'intera
<lb/>lunghezza, mà solo una sua parte, come saria l'ottava, ò la decima,
<lb/>&c. La quale accresciuta con l'ordine pur hora dichiarato ci
<lb/>rappresenterà in fine l' ottava, ò decima parte di tutta la lunghezza
<lb/>dell'Artiglieria grande.
<lb/>Mà qui potria per avventura à qualch'uno nascer difficoltà, se
<lb/>dalle nostre linee Metalliche nel modo che si sono trovate le dette
<lb/>misure trasmutando l'uno nell'altro metallo semplice, così si potesse
<lb/>far l'istesso in una allegazione di due metalli, come à punto
<lb/>quando nell' essempio sopraposto volessimo formare il pezzo non
<lb/>di Rame schietto, mà di metallo misto di Rame, & di Stagno,
<lb/>come anco comunemente si costuma di fare, onde noi per intera
<lb/>sodisfazione mostreremo potersi con l'aiuto delle medesime linee
<lb/>Metalliche ritrovare le medesime misure in qual si voglia allegatione
<lb/>non altrimente, che in un semplice metallo, & ciò si farà con
<lb/>l' aggiugner due piccolissimi punti sopra le linee Metalliche; dico
<lb/>piccolissimi, acciocche ad arbitrio nostro, di poi che ce ne saremo
<lb/>serviti possiamo cancellarli, & dato per essempio che il pezzo dell'
<lb/>Artiglieria che vogliamo fare non di Rame puro come di sopra
<lb/>si suppose, mà di bronzo dovesse esser gettato, la cui lega fusse per
<lb/>ogni 3. di Rame uno di Stagno, allora verremo con diligenza dividendo
<lb/>tanto dall'una, quanto dall'altra parte quella breve linea
<lb/>che è trà li punti segnati Ra. & Sta. in quattro particelle delle quali
<lb/>trè se ne lascieranno verso lo Stagno, & una sola verso il Rame,
<lb/>& quivi si farà il punto apparente, del qual punto (segnato, come
<lb/>si disse, tanto nell'una quanto nell'altra linea Metallica) ci serviremo
<lb/>per la trasmutatione del metallo non altrimenti che ci servimmo
<lb/>di sopra de i punti Ra. Ra. & con simil regola si potranno secondo
<lb/>l' occorrenze segnare nuovi punti di allegazioni di qual si
<lb/>voglino due metalli, & secondo qual si voglia lega.
<lb/>Mà non saria fuori di proposito, & senza comodo notabile, &
<lb/>in particolare quando s'habbia da fare la trasmutazione in metallo
<pb n="18 verso"/>
<lb/>misto, & allegato di due altri secondo qualunque proporzione;
<lb/>l' avertire, che quando si sia trovata una sola delle misure che si ricercano
<lb/>con l'operare con somma esquisitezza nel modo dichiarato
<lb/>di sopra, si potranno, in virtù di questa unica misura ritrovata
<lb/>investigare poi tutte l' altre con l'aiuto delle linee Aritmetiche, con
<lb/>modo non molto differente da quello, che nell'Oper. terza fu dichiarato,
<lb/>come, per essempio. Era la linea A. il diametro, ò vogliamo
<lb/>dire la grossezza alla gioia del modello d'Artiglieria propostoci,
<lb/>& si trovò la linea B. per grossezza della gioia dell'Artiglieria
<lb/>di libre 5000. da farsi di metallo che tenga tre di Rame, & due
<lb/>di Stagno. Dico adesso che per trovar tutte l' altre dimensioni che
<lb/>restano ci potremo prevalere delle linee Aritmetiche, pigliando
<lb/>la linea B. & applicandola per traverso, à che punto ci piace di esse
<lb/>linee Aritmetiche, & quanto maggior numero piglieremo meglio
<lb/>sarà; la onde l'applicheremo v. g. all'ultimo punto, cioè al 250. &
<lb/>non movendo lo Strumento vederemo à qual punto s' accomodi
<lb/>pur trasversalmente la linea A. che sia v. g. al 44. Dalche vegniamo
<lb/>in cognitione, come essendo la misura A. del modello punti 44.
<lb/>quella che gl' ha da rispondere del pezzo reale deve essere 250.
<lb/>de i medesimi punti, & questa medesima proporzione hà da esser
<lb/>osservata in ciascheduna altra misura. Onde per trovare per essempio
<lb/>la grossezza del pezzo reale nella gola prenderai tal grossezza
<lb/>dal piccolo modello, & applicala trasversalmente alli punti
<lb/>44. delle linee Aritmetiche, prendendo poi, pur trasversalmente la
<lb/>distanza frà li punti 250. che sarà la grossezza della gola dell'Artiglieria
<lb/>grande. Et col medesimo ordine si troveranno tutte l' altre
<lb/>misure.
<lb/>In oltre per trovare facilissimamente, & con somma esquisitezza
<lb/>la linea B. prima, che risponda al punto della lega delli due metalli
<lb/>assegnati: Si potrà proceder così: ritrovando prima separatamente
<pb n="19 recto"/>
<lb/>le due misure semplici, che respondino l'una allo stagno,
<lb/>& l'altra al rame, come le due linee ED. CE. delle quali ED. sia
<lb/>la misura rispondente al rame puro, & la CE. al puro stagno, si
<lb/>che la differenza loro sia la linea DE. la quale si dividerà secondo
<lb/>la proporzione assegnata per la lega; come volendo 3. di Rame, &
<lb/>2. di stagno si taglierà la linea DE. nel punto F. in maniera che la
<lb/>FE. verso lo Stagno sia 3. parti, & la FD verso il rame parti 2. che
<lb/>si farà col dividere tutta la DE. in cinque parti lasciandone 3. verso
<lb/>F. & 2. verso D. & la linea CF. sarà la nostra principale,
<lb/>qual fu poco di sopra la linea B. secondo la ragion della
<lb/>quale col semplice mezo delle linee Aritmetiche
<lb/>si troveranno tutte l' altre
<lb/>misure, senza più
<lb/>ricorrere
<lb/>ad altre linee Metalliche, ò Stereometriche
<lb/>nel modo che si è insegnato
<lb/>nella terza Operazione.
<pb n="19 verso"/>
<lb/>DELLE LINEE
<lb/>POLIGRAFICHE,
<lb/>E COME CON ESSE POSSIAMO
<lb/>Descrivere i Poligoni regolari, cioè le figure
<lb/>di molti lati, & angoli eguali.
<lb/>Oper. XXVI.
<lb/>Volgendo lo Strumento dall'altra parte, ci si
<lb/>rappresentano le linee più interiori nominate Poligrafiche
<lb/>dal loro uso principale, che è di descrivere
<lb/>sopra una linea proposta Figure di quanti lati,
<lb/>& angoli eguali ci verrà ordinato, & questo facilmente
<lb/>conseguiremo pigliando con un Compasso
<lb/>la lunghezza della linea data, la quale si adatterà alli punti segnati
<lb/>6. 6. dipoi senza muover lo Strumento piglieremo l'intervallo trà i
<lb/>punti notati col numero che numera i lati della figura, che descrivere
<lb/>vogliamo; come v. g. per descrivere una figura di 7. lati prenderemo
<lb/>l'intervallo trà li punti 7. 7. il quale sarà il semidiametro
<lb/>del Cerchio che comprenderà l' Eptagono da descriversi; siche posta
<lb/>un'asta del Compasso hora sopra l'uno, & hora sopra l'altro
<lb/>termine della linea data faremo sopra di essa un poco d' intersecazione
<lb/>con l'altra, & quivi fatto centro descriveremo con l' istessa
<lb/>apertura un cerchio occulto, il quale passando per i termini della
<lb/>data linea la riceverà 7. volte apunto nella sua circonferenza, onde
<lb/>l' Eptagono ne venga descritto.
<lb/>DIVISIONE DELLA CIRCONFERENZA DEL
<lb/>Cerchio in quante parti ci piacerà. Oper. XXVII.
<lb/>Con queste linee si dividerà la circonferenza in molte parti
<lb/>operando per il converso della precedente operazione,
<lb/>pigliando il semidiametro del Cerchio dato, & applicandolo
<lb/>al numero delle partii nelle quali si hà da dividere
<lb/>il Cerchio, pigliando poi sempre l'intervallo de i punti 6. 6.
<lb/>il quale dividerà la circonferenza nelle parti che si volevano.
<pb n="20 recto"/>
<lb/>ESPLICAZIONE DELLE LINEE
<lb/>TETRAGONICHE,
<lb/>E COME COL MEZO D' ESSE
<lb/>Quadri il Cerchio, & ogni altra figura regolare, & più
<lb/>come si trasmutino tutte l'una nell'altra.
<lb/>Oper. XXVIII.
<lb/>Sono queste linee Tetragoniche così dette dal loro uso
<lb/>principale, che è di quadrare tutte le superficie regolari,
<lb/>& il Cerchio appresso; & ciò si fa con facilissima
<lb/>operazione; imperoche volendo costituire un quadrato
<lb/>eguale à un dato Cerchio altro non doviamo fare, salvo che
<lb/>prendere con un Compasso il suo semidiametro, & à questo, aprendo
<lb/>lo Strumento, aggiustare li due punti delle linee Tetragoniche
<lb/>segnati con li due piccoli Cerchietti, & non movendo lo Strumento,
<lb/>se si prenderà col Compasso l'intervallo trà i punti delle medesime
<lb/>linee segnati 4. 4. si haverà il lato del Quadrato eguale al
<lb/>dato Cerchio. Et non altrimenti quando volessimo il lato del pentagono,
<lb/>ò dello Esagono, eguali al medesimo Cerchio, si prenderà la
<lb/>distanza trà i punti 5. 5, ò quella trà i punti 6. 6. che tali sono i lati
<lb/>del pentagono, ò dell'Esagono eguali al medesimo Cerchio.
<lb/>In oltre, quando volessimo per il converso, dato un Quadrato,
<lb/>ò altro Poligono regolare, trovar un Cerchio ad esso eguale, preso
<lb/>un lato dal detto Poligono, & accomodatolo al punto delle linee
<lb/>Tetragoniche rispondente al numero de i lati della figura proposta,
<lb/>si prenderà senza movere lo Strumento la distanza trà le
<lb/>note del Cerchio, la quale fatta semidiametro descriverà il Cerchio
<lb/>eguale al dato Poligono, & in conclusione con quest'ordine potrassi
<lb/>ritrovare il lato di qual si voglia figura regolare, eguale à
<lb/>qualunque altra propostaci. Come v. g. dovendo noi costituire
<lb/>un' ottangolo eguale à un dato Pentagono, s' aggiusterà lo Strumento,
<lb/>siche il lato del Pentagono proposto s'accomodi alli punti
<lb/>5. 5. & non mutando lo Strumento l'intervallo frà li punti 8. 8.
<lb/>sarà il lato dell'ottangolo, che si cercava.
<pb n="20 verso"/>
<lb/>COME PROPOS'l'E DIVERSE FIGURE REGOLARI,
<lb/>benche trà di loro dissimili, se ne possa costituire una
<lb/>sola eguale à tutte quelle. Operazione XXIX.
<lb/>La resolutione del presente Problema depende dalla
<lb/>precedente operazione, & dalla X. di sopra dichiarata,
<lb/>per ciò che essendoci v. g. proposte queste
<lb/>figure, un cerchio, un triangolo, un pentagono,
<lb/>& un exagono & imposto, che troviamo un
<lb/>Quadrato eguale à tutte le dette figure, prima per
<lb/>l'operazione precedente troveremo separatamente 4. quadrati eguali
<lb/>alle 4. dette figure; dipoi col mezo dell'operazione X. troveremo
<lb/>un solo quadrato eguale à quelli 4. il quale senz' alcun dubio
<lb/>sarà eguale alle 4. figure proposte.
<lb/>COME SI POSSA COSTITUIRE QUAL SI
<lb/>voglia figura regolare eguale ad ogn'altra irregolare, ma
<lb/>rettilinea figura proposta. Oper. XXX.
<lb/>La presente operazione è non meno utile che curiosa,
<lb/>insegnandoci il modo, non pure di riquadrare tutte le
<lb/>superficie irregolari, mà di ridurle ò in cerchio, ò in
<lb/>qual si voglia altra figura regolare: & perche ogni rettilineo
<lb/>si risolve in triangoli, quando noi sapremo costituire
<lb/>un quadrato eguale à qual si voglia triangolo, costituendo
<lb/>noi separatamente quadrati particolari eguali à ciaschedun triangolo
<lb/>ne i quali il rettilineo dato si risolve, & poi con l'operazione X.
<lb/>riducendo tutti questi quadrati in un solo, sarà, come è manifesto,
<lb/>ritrovato il quadrato eguale al proposto rettilineo, il qual quadrato
<lb/>col mezo delle linee Tetragoniche potremo ad arbitrio nostro
<lb/>convertire in un cerchio, in un pentagono, ò in altra figura rettilinea
<lb/>regolare. Si è dunque la resoluzione del presente quesito ridotta
<lb/>à dover noi trovare un quadrato eguale à qual si voglia triangolo
<lb/>proposto, il che con modo facilissimo si haverà dal Lemma
<lb/>seguente.
<pb n="21 recto"/>
<lb/>LEMMA PER LE COSE DETTE DI SOPRA.
<lb/>Oper. XXXI.
<lb/>Siaci dunque proposto di dover costituire un quadrato
<lb/>eguale al dato Triangolo ABC. Pongansi da parte
<lb/>due linee ad angoli retti DE. FG. dipoi con un compasso
<lb/>da quattro punte che da una parte apra il doppio
<lb/>dell'altra, fermata
<lb/>nell'angolo A. una delle
<lb/>maggiori aste, slarghisi
<lb/>l'altra sin che girata intorno
<lb/>rada la linea opposta
<lb/>BC. dipoi voltando
<lb/>il compasso notisi con
<lb/>le aste più brevi la distanza
<lb/>FH. che sarà la metà
<lb/>della perpendicolare cadente
<lb/>dall'angolo A. sopra
<lb/>il lato opposto BC.
<lb/>il che fatto, prendasi pure con le maggiori aste
<lb/>la linea BC. la quale si
<lb/>trasporti in FI. & fermata
<lb/>una delle maggiori aste
<lb/>nel punto I. slarghisi
<lb/>l'altra sino al punto H.
<lb/>& volgendo il compasso,
<lb/>senza stringerlo ò allargharlo,
<lb/>segnisi con le
<lb/>punte della metà la distanza IK. & fermata una di queste punte in
<lb/>K. tagliai con l'altra la perpendicolare FG. nel punto L. & haveremo
<lb/>la linea LF. lato del quadrato eguale al triangolo ABC.
<pb n="21 verso"/>
<lb/>Mà notisi, che se bene haviamo messa questa operazione fatta linealmente
<lb/>senza lo Strumento: non è però che sopra lo Strumento
<lb/>ancora non si possa facilissimamente ritrovare; imperò che, quando
<lb/>vorremo ridurre qualunque triangolo in quadrato, come per essempio
<lb/>il Triangolo ABC. allora presa dall'angolo A. la perpendicolare
<lb/>cadente sopra il lato opposto BC. considereremo sopra la scala
<lb/>Aritmetica quanti punti contenga, & trovato contenerne v. g.
<lb/>45. applicheremo questa distanza trasversalmente al 45. delle linee
<lb/>Geometriche; pigliando poi la metà della linea BC. considereremo
<lb/>parimente quanti punti della medesima scala Aritmetica essa comprenda,
<lb/>& trovato contenerne per essempio 37. piglieremo
<lb/>trasversalmente dalle linee Geometriche la distanza
<lb/>trà essi punti 37. la quale ci darà la linea D.
<lb/>il cui Quadrato sarà eguale
<lb/>al triangolo
<lb/>ABC.
<pb n="22 recto"/>
<lb/>DELLE LINEE AGGIUNTE PER LA QUADRATURA
<lb/>delle parti del Cerchio, e delle figure contenute da parti
<lb/>di circunferenze, ò da linee rette, & curve insieme. Oper. 32.
<lb/>Restano finalmente le due linee aggiunte, così dette
<lb/>perche aggiungono alle linee Tetragoniche quello,
<lb/>che in esse potria desiderarsi; cioè il modo di riquadrare
<lb/>le porzioni del cerchio, & le altre Figure,
<lb/>che nel titolo si sono dette, & più distintamente
<lb/>di sotto si esplicheranno. Sono queste linee segnate
<lb/>con due ordini di numeri, de i quali lo esteriore comincia dal
<lb/>punto segnato con questa nota seguitando poi li numeri 1. 2. 3. 4.
<lb/>sino in 18. l'altro ordine interiore comincia da questo segno
<lb/>seguitando poi 1. 2. 3. 4. &c. pur sino à 18. col mezo delle quali
<lb/>linee potremo primamente riquadrare qual si voglia porzione di
<lb/>cerchio propostaci, la quale però non sia maggior di mezo cerchio,
<lb/>& l'uso acciò meglio s'intenda, con l' essempio s'esplicherà.
<lb/>Vogliamo v. g. trovare il quadrato eguale alla porzione del cerchio
<lb/>ABC. dividasi la sua corda AC. nel mezo nel punto D. & presa
<lb/>con un compasso la distanza AD. s' accomodi, aprendo lo strumento,
<lb/>alli punti segnati & lasciato lo strumento in tale stato,
<lb/>prendasi l'altezza della porzione, cioè la linea DB, & veggasi à
<lb/>quale de i punti dell' ordine
<lb/>esteriore tale altezza s' accomodi,
<lb/>che sia per essempio alli
<lb/>punti segnati 2. 2. il che fatto
<lb/>doviamo con un compasso
<lb/>prender subito l' intervallo trà
<lb/>li punti 2. 2. dell'ordine interiore,
<lb/>& sopra una linea di questa
<lb/>grandezza si deve formare
<lb/>il quadrato, che sarà eguale
<lb/>alla porzione ABC. Et quando
<lb/>havessimo una superficie
<lb/>contenuta da due porzioni
<lb/>di cerchio simile alla presente
<lb/>figura ABCD. potremo facilmente
<pb n="22 verso"/>
<lb/>ridurla in quadrato tirando la corda AC. dalla quale essa
<lb/>figura in due porzioni di cerchio vien divisa, dipoi, per la regola
<lb/>posta di soprà si troveranno due quadrati eguali alle due porzioni
<lb/>separati, & questi con l'intervento dell'oper. 10. si ridurranno
<lb/>in un solo, & sarà fatto il tutto.
<lb/>Et con non dissimile operazione potrassi riquadrare ancora il settore
<lb/>del cerchio perche tirata la corda sotto la sua circonferenza sarà
<lb/>tagliato in una porzione di cerchio, & in un triangolo; le quali
<lb/>due parti, per le cose disopra insegnate, potranno facilmente ridursi
<lb/>in due quadrati, & quelli poi in un solo.
<lb/>Resta finalmente, che mostriamo come le medesime linee ci possin
<lb/>servire per quadrare la porzione maggiore di mezo cerchio, il trapezio
<lb/>contenuto da due rette, & due curve, simile à quello della figura
<lb/>appresso ABCD. & la Lunula simile alla X. le quali tutte operazioni
<lb/>hanno la medesima resoluzione: percioche, quanto alla porzione
<lb/>maggiore del cerchio, se noi quadreremo la rimanente porzione
<lb/>minore al modo di sopra insegnato, & tale quadrato caveremo
<lb/>dal quadrato eguale à tutto 'l cerchio, il quadrato eguale al rimanente.
<lb/>sarà ancora, com'è manifesto, egual' alla maggior porzione
<pb n="23 recto"/>
<lb/>del Cerchio. Parimente, di tutta la porzione BAFDC. trovatone
<lb/>il quadrato eguale, & da esso trattone il quadrato eguale alla porzione
<lb/>AFB. il quadrato rimanente pareggerà il trapezio; & similmente
<lb/>procedendo nella Lunula X. tirata la comune corda delle
<lb/>due porzioni di cerchio, si prenderanno separatamente i quadrati
<lb/>ad esse porzioni eguali, la differenza de i quali sarà il quadrato eguale alla
<lb/>Lunula. Come poi delli due quadrati proposti si possa
<lb/>trovare la differenza ridotta in un' altro quadrato, si è di sopra, nell'
<lb/>Oper. XI. con l'intervento delle Linee Geometriche dichiarato.
<lb/>DELLE OPERAZIONI DEL QUADRANTE.
<lb/>Aggiugnendo allo Strumento il Quadrante, nella sua minore
<lb/>circonferenza habbiamo la Squadra da bombardieri
<lb/>divisa secondo il solito in punti 12. l'uso ordinario
<lb/>della quale è che si metta una sua costa nel vacuo
<lb/>del pezzo, havendo prima sospeso il filo col perpendicolo dal centro
<lb/>dello Strumento, il qual filo ci mostrerà, segando detta circonferenza,
<lb/>quanta elevazione habbia il pezzo: cioè se 1. punto ò 2. ò 3.
<lb/>Et perche l' usar la Squadra in questa maniera non è senza pericolo,
<lb/>dovendo con l' uscir fuori de i Gabbioni, ò ripari, scoprirci alla
<lb/>vista dell'inimico, per ciò s'è pensato un altro modo di far l'istesso
<lb/>con sicurtà, cioè con l'applicare la Squadra presso al focone del pezzo.
<lb/>Mà perche l'anima di dentro non è parallela con la superficie
<lb/>di fuori, essendo il metallo più grosso verso la culatta, bisogna supplire
<lb/>à tal difetto con l' allungare quell' asta della Squadra, che riguarda
<lb/>verso la gioia, aggiugnendovi la sua zanca mobile, il che si
<lb/>farà aggiustando prima una sol' volta il pezzo à livello, & poi posando
<lb/>verso il focone la Squadra, con la zanca allungheremo il piede
<lb/>anteriore, sin che il perpendicolo seghi il punto 6. & fermata la Zanca
<lb/>con la sua vite, segneremo una lineetta sopra la costa dello
<lb/>Strumento, dove viene à terminar la cassella della detta zanca, acciò
<lb/>in ogni occasione la possiamo mettere à segno, & poi se vorremo
<lb/>dar' un punto d'elevazione, bisognerà alzar il pezzo tanto che il filo
<lb/>seghi il numero 7. se vorremo 2. punti, doverà seghar l' 8. &c.
<pb n="23 verso"/>
<lb/>La divisione che segue appresso è il Quadrante Astronomico,
<lb/>l'uso del quale, essendo stato trattato da altri, non sarà qui dichiarato
<lb/>altrimente.
<lb/>L' altra circonferenza, che segue appresso, & che si vede divisa
<lb/>da alcune linee trasversali è per prender l'inclinazione della
<lb/>scarpa di tutte le muraglie, cominciando da quelle, che havranno
<lb/>per ogni 10. d'altezza uno di pendenza, sino quelle, che habbino
<lb/>uno di pendenza per ogn' un e mezo d'altezza.
<lb/>Volendo servirci di tale Strumento, doviamo sospender' il filo
<lb/>da quel piccolo foro, che si vede al principio della Squadra da bombardieri;
<lb/>dipoi, accostandoci alla muraglia pendente gl' applicheremo
<lb/>sopra la costa opposta dello Strumento; avvertendo dove taglierà
<lb/>il filo; perche, segando, per essempio, il numero 5. diremo quella
<lb/>tal' muraglia haver per ogni 5. braccia d'altezza 1. di pendenza,
<lb/>similmente, tagliando il numero 4. diremo haver 1. di pendenza per
<lb/>ogni 4. d'altezza.
<lb/>DIVERSI MODI PER MISURAR CON LA
<lb/>Vista, & prima delle Altezze Perpendicolari alla radice
<lb/>delle quali si possa accostare & discostare.
<lb/>L' ultima circonferenza divisa in 200. parti, è una Scala
<lb/>per misurar Altezze, Distanze, & Profondità col mezo
<lb/>della vista, Et prima, cominciando dall' Altezze,
<lb/>mostreremo diverse maniere di misurarle, facendo
<lb/>principio dall' Altezze perpendicolari, alla radice delle
<lb/>quali ci possiamo accostare. Come saria, se volessimo misurar l' altezza
<lb/>della torre AB. venendo nel punto B. ci discosteremo verso C.
<lb/>caminando 100 passi, ò 100. altre misure, & fermatici nel luogo C.
<lb/>traguardéremo con una costa dello Strumento l' altezza A. come
<lb/>si vede secondo la costa CDA. notando i punti tagliati dal filo DI. i
<lb/>quali se saranno nel centinaio opposto all' occhio, come si vede nell'
<lb/>essempio proposto per l' arco I. quanti saranno detti punti, tanti
<lb/>passi, (ò altre delle misure, che haremo misurate in terra) diremo
<lb/>contenere l' altezza AB.
<pb n="24 recto"/>
<lb/>Mà se il filo taglierà l'altro centinaio, come si vede nella seguente figura,
<lb/>volendo misurar l' altezza GH. sendo l'occhio in I. dove il filo
<lb/>taglia i punti MO. allora, preso il numero di detti punti divideremo
<lb/>per esso il numero 10000. & l' avvenimento sarà il numero
<lb/>delle misure che nell'altezza GH. si conterranno, come v. g. se il filo
<lb/>havesse tagliato il punto 50. dividendo 10000. per 50. haremo
<lb/>200. & tante saranno le misure dell' Altezza GH.
<lb/>Et perche haviamo veduto che alle volte il filo segherà il centinaio
<lb/>opposto alla costa, per la quale si traguarda, & tal volta ancora
<lb/>taglierà il centinaio contiguo à detta costa, & questo potrà avvenire
<lb/>in molte delle operazioni seguenti, però per regola universale
<lb/>s' avvertirà sempre, che, quando il filo taglierà il primo centinaio
<lb/>contiguo à detta costa si deve dividere 10000. per il numero tagliato
<lb/>dal filo, seguendo poi nel resto dell' operazione la regola, che
<lb/>sarà scritta: per che noi ne gl' essempi seguenti supporremo sempre
<lb/>che il filo tagli l'altro centinaio.
<pb n="24 verso"/>
<lb/>Ma acciò che tanto
<lb/>più si scorgha la moltitudine
<lb/>de gl' usi, di
<lb/>questo nostro Strumento,
<lb/>voglio, che i
<lb/>computi più laboriosi,
<lb/>che nelle regole
<lb/>per misurar con la vista
<lb/>ci occorreranno,
<lb/>siano senza fatica alcuna,
<lb/>& con somma
<lb/>brevità ritrovati col
<lb/>mezo del compasso
<lb/>sopra le linee Aritmetiche.
<lb/>Et facendo
<lb/>principio dalla presente
<lb/>operazione, per
<lb/>quelli, che non sapessero
<lb/>partire 10000.
<lb/>per quel numero tagliato
<lb/>dal perpendicolo:
<lb/>dico, che si pigli
<lb/>rettamente sempre
<lb/>100. dalle linee aritmetiche, & che trasversalmente s' accomodi
<lb/>al numero de i punti tagliati da esso perpendicolo: pigliando poi
<lb/>pur trasversalmente, senza muover lo Strumento la distanza trà i
<lb/>punti 100. la quale misurata rettamente ci darà l' altezza cercata.
<lb/>Come v. g. se il filo havesse tagliato à 77. pigliando dalle linee aritmetiche
<lb/>100. rettamente, applicalo trasversalmente al 77. & subito
<lb/>prendi pur trasversalmente l'intervallo trà i punti 100. & torna à
<lb/>misurarlo rettamente, & troverai contenere punti 130. & tante misure
<lb/>dirai contenersi nell'altezza, che misurar volevamo.
<lb/>In altra maniera potremo misurar' una simil' Altezza, senza obligarci
<lb/>à misurar in terra le 100. misure, nel modo che si farà manifesto.
<lb/>Come se per essempio volessimo dal punto C. misurar l'Altezza
<lb/>della torre AB. Drizzando la costa dello Strumento CDE. alla
<pb n="25 recto"/>
<lb/>sommità A. noteremo li punti tagliati dal filo EI. quali siano per
<lb/>essempio 80. dipoi senza muoverci di luogo, abbassando solamente
<lb/>lo Strumento, traguarderemo qual che segno più basso che sia
<lb/>posto nella medesima Torre, come saria il punto F. notando il numero
<lb/>de i punti tagliati dal filo, il quale sia v. g. 5. veggasi poi quante
<lb/>volte questo minor numero 5. sia contenuto nell'altro 80. (che è
<lb/>16. volte) & 16. volte diremo la distanza FB. esser contenuta in tutta
<lb/>l' altezza BA. & perche il punto F. è basso potremo tale altezza
<lb/>FB. con un'asta, ò altro facilmente misurare, & così venir' in cognizione
<lb/>dell'altezza BA. avvertendo che, nel misurar l'altezze, noi
<lb/>ritroviamo, & misuriamo solamente l' altezze sopra l'orizonte del
<lb/>nostr'occhio, tal che quando detto occhio sarà più alto della radice,
<lb/>ò base della cosa misurata, bisognerà aggingner' all'altezza trovata
<lb/>per via dello Strumento, quel tanto di più che l'occhio sopravanza
<lb/>detta radice.
<pb n="25 verso"/>
<lb/>Il terzo modo di misurar' una simile Altezza, sarà con l'alzarci, &
<lb/>abbassarci: come volendo misurar l'altezza AB. costituendo
<lb/>lo Strumento in qual che luogo elevato da terra, come saria nel
<lb/>punto F. traguarderemo secondo la costa EF. il punto A. notando
<lb/>i punti GI. tagliati dal filo, quali siano, per essempio 65. dipoi scendendo
<lb/>al basso, & venendo perpendicolarmente sotto 'l punto F.
<lb/>come saria nel punto C. traguarderemo la medesim' altezza secondo
<lb/>la costa DC. notando i punti LO. quali saranno più de gl' altri
<lb/>come v. g. 70. dipoi prendasi la differenza trà questi due numeri 65.
<lb/>& 70. che è 5. & quante volte essa è contenuta nel maggior de i
<lb/>detti numeri, cioè in 70. (che vi sarà contenuta 14. volte) tante volte
<lb/>diremo l'altezza BA. contenere la distanza CF. la quale misureremo,
<lb/>potendolo noi fare comodamente, & così verremo in cognizione
<lb/>di tutta l' altezza AB.
<pb n="26 recto"/>
<lb/>Et volendo noi misurar un'Altezza, la cui radice non si vedesse,
<lb/>come saria l' Altezza del monte AB. sendo nel punto C. traguarderemo
<lb/>la sommità A. notando i punti I. tagliati dal perpendicolo
<lb/>DI. i quali siano, per essempio, 20. dipoi, accostandoci verso
<lb/>il monte 100 passi innanzi, venendo nel punto E. traguarderemo
<lb/>l' istessa sommità, notando i punti F. i quali siano 22. il che fatto
<lb/>devonsi multiplicare trà loro questi due numeri 20. & 22. fanno
<lb/>440. & questo si divida, per la differenza delli medesimi numeri,
<lb/>cioè per 2. ne viene 220. & tanti passi diremo esser alto il monte.
<lb/>Il computo si troverà sopra lo Strumento pigliando il minor numero
<lb/>de i punti tagliati, rettamente sopra le linee Aritmetiche, &
<lb/>applicandolo poi trasversalmente alla differeriza delli due numeri
<lb/>de i punti, pigliando in oltre trasversalmente l' altro numero de i
<lb/>punti il quale misurato rettamente ci darà l'altezza cercata: come
<lb/>se, per essempio, i punti tagliati fussero stati 42. & 58. preso 42. rettamente,
<lb/>buttisi trasversalmente alla differenza de i detti numeri,
<lb/>cioè al 16. ò, non potendo, al suo doppio triplo quadruplo, &c.
<lb/>Sia al quadruplo, che è 64. & preso poi il 58. ò il suo quadruplo
<lb/>cioè 232. & misurato rettamente ci darà 152. e un quarto, che è il
<lb/>proposito.
<pb n="26 verso"/>
<lb/>Possiamo in oltre col medesimo Strumento misurare un' Altezza
<lb/>posta sopra un'altra, come se volessimo misurare l'a ltezza della
<lb/>Torre AB. posta sopra 'l monte BC. Prima, sendo nel punto D.
<lb/>traguarderemo la sommità della torre A. notando i punti tagliati
<lb/>dal filo EI. li quali siano v. grat. 18. poi, lasciando un'asta piantata
<lb/>nel punto D. venghiamo avanti sin tanto che traguardando la base
<lb/>della Torre, cioè il punto B. il perpendicolo GO. tagli il medesimo
<lb/>numero 18. il che sia quando saremo venuti al punto F. dipoi
<lb/>misurinsi i passi trà le due Stationi DF. quali siano per essempio
<lb/>130. & questo numero si multiplichi per i 18. punti, ne verrà 2340.
<lb/>il qual numero si divida per 100. ne viene 23. & due quinti & tanti
<lb/>passi sarà alta la torre AB.
<lb/>Il Computo sopra lo Strumento si farà col pigliar rettamente
<lb/>il numero de i passi, ò quello de i punti, applicandolo poi trasversalmente
<lb/>al 100. prendendo poi l'altro pur trasversalmente, &
<lb/>misurandolo rettamente. Come se, v. g. i punti fossero stati 64. &
<lb/>i passi 146. & preso 64. rettamente, & applicatolo trasversalmente al
<lb/>100. & preso poi trasversalmente 146. & misuratolo rettamente ci
<lb/>darà 93. e mezo in circa, quanta è l'altezza che si cercava.
<pb n="27 recto"/>
<lb/>Quanto alle profondità due modi haveremo per misurarle, & il
<lb/>primo sarà per misurar la profondità contenuta trà le linee parallele,
<lb/>come saria la profondità d' un pozzo, overo l'altezza d'una Torre,
<lb/>quando noi fossimo sopra di essa, come per essempio; sia un pozzo
<lb/>ABDC contenuto trà le linee parallele AC. DB. & voltando
<lb/>l' angolo dello Strumento verso l'occhio E. si traguardi secondo
<lb/>la costa EF. in maniera, che il raggio della vista passi per li punti
<lb/>BC. notando il numero tagliato dal filo, il quale sia, verbi
<lb/>gratia 5. & poi si consideri quante volte questo numero 5. entra
<lb/>in 100. & tante volte diremo la larghezza BA. esser contenuta
<lb/>nella profondità BD.
<pb n="27 verso"/>
<lb/>L' altro modo sarà per misurar una profondità, della quale non
<lb/>si vedesse la radice; come se fussimo sopra 'l monte BA. & volessimo
<lb/>misurar la su' altezza sopra 'l piano della campagna; in tal
<lb/>caso alziamoci sopra 'l monte salendo sopra qual che casa, torre, ò
<lb/>albero, come si vede nella presente figura, & costituendo l' occhio
<lb/>nel punto F. traguarderemo qual che segno posto nella campagna
<lb/>come si vede per il punto C. notando i punti tagliati dal filo FG.
<lb/>che siano v. g. 32. dipoi scendendo nel punto D. traguardisi il medesimo
<lb/>segno C. con la costa DE. notando parimente i punti AI.
<lb/>che siano 30. & presa la differenza di questi due numeri, cioè 2, veggasi
<lb/>quante volte entra nel minor delli due numeri, & veduto che
<lb/>vi entra 15. volte, diremo l' altezza del monte essere 15. volte più
<lb/>dell'altezza FD. la quale, potendola noi misurare, ci farà venire in
<lb/>notizia di quanto cercavamo.
<pb n="28 recto"/>
<lb/>Passando al misurar le distanze, come saria una larghezza di
<lb/>un fiume venendo sopra la ripa, ò altro luogo eminente, si
<lb/>come nell' essempio si vede, nel qual volendo noi misurar la larghezza
<lb/>CB. venendo nel punto A. traguarderemo con la costa AF.
<lb/>l' estremità B. notando i punti DE. tagliati dal perpendicolo, quali
<lb/>siano verbi gratia 5. & quante volte questo numero entra in 100.
<lb/>tante volte diremo l'altezza AC. entrare nella larghezza CB. misurando
<lb/>dunque quanta sia tale altezza AC. & pigliandola 20.
<lb/>volte haveremo la larghezza cercata.
<pb n="28 verso"/>
<lb/>Possiamo in altro
<lb/>modo misurare una
<lb/>simile distanza; come
<lb/>per essempio, sendo
<lb/>noi nel punto A. vogliamo
<lb/>trovare la distanza sino
<lb/>al punto B. costituiscasi
<lb/>lo Strumento in piano,
<lb/>& una delle sue coste
<lb/>sia drizzata verso il
<lb/>punto B. & secondo la
<lb/>dirittura dell' altra costa
<lb/>traguardisi verso il
<lb/>punto C. misurando sopra
<lb/>la dirittura AC.
<lb/>100. passi, ò altre misure,
<lb/>& lascisi piantata
<lb/>nel punto A. un' asta,
<lb/>& un'altra si ponga
<lb/>nel punto C. dipoi
<lb/>venendo nel punto C.
<lb/>si dirizzi una costa dello
<lb/>Strumento verso A.
<lb/>& per l'angolo C. si traguardi
<lb/>il medesimo segno
<lb/>B. notando sopra
<lb/>il Quadrante qual punto
<lb/>venga segato dal raggio
<lb/>della vista, che sia
<lb/>il punto E. & preso tal
<lb/>numero, dividasi per esso
<lb/>10000. & quello,
<lb/>che ne verrà, sarà il numero de i passi, ò altre misure, che saranno
<lb/>trà il punto A . & il segno B.
<pb n="29 recto"/>
<lb/>Ma quando non ci fusse permesso
<lb/>di poter moverci le
<lb/>100. misure sopra una linea,
<lb/>che facesse angolo retto col primo
<lb/>traguardo in tal caso procederemo
<lb/>altrimenti, come v. g.
<lb/>essendo noi nel punto A. & volendo
<lb/>pigliare la distanza AB.
<lb/>ne potendo caminare per altra
<lb/>strada, che per la AE. la quale
<lb/>con la dirittura AB. fà angolo
<lb/>acuto, per conseguire ad ogni
<lb/>modo il nostro intento aggiusteremo
<lb/>una costa dello Strumento
<lb/>prima alla strada, come
<lb/>si vede per la linea AF. & senza
<lb/>mover lo Strumento traguarderemo
<lb/>per l' angolo A. il punto
<lb/>B. notando i punti tagliati dal
<lb/>raggio AD. quali siano per essempio
<lb/>60. dipoi lasci ando nel
<lb/>punto A. un'asta ne faremo mettere
<lb/>sopra la linea AE. un'altra
<lb/>lontana 100. passi, quale sia nel
<lb/>punto F. dove costituiremo l'angolo
<lb/>dello Strumento, aggiustando
<lb/>la costa EF. all'asta A.
<lb/>& per l'angolo F. traguarderemo
<lb/>il medesimo segno B. notando
<lb/>i punti GI. quali siano
<lb/>v. gra. 48. volendo dunque da
<lb/>questi numeri 60. & 48. trovare la lontananza AB. multiplica il primo
<lb/>in sè stesso. fa 3600. aggiugnili poi 10000. fa 13600. & di questo
<lb/>numero piglia la radice quadrata sarà 117. in circa, & questa
<lb/>multiplica per 100. fa 11700. & finalmente dividi questo numero
<lb/>per la differenza delli due primi numeri 60. & 48. cioè per 12. ne
<lb/>verrà 975. & tanti passi senz'alcun dubio sarà la distanza AB.
<pb n="29 verso"/>
<lb/>Troverassi la calculazione di questa operazione sopra lo Strumento,
<lb/>come nel sottoposto essempio s' espone. Siano v. g. i punti tagliati
<lb/>da i due raggi, l'uno 74. & l'altro 36. & per trovare detto computo;
<lb/>aggiusta prima lo Strumento si che le linee Aritmetiche siano trà
<lb/>di loro ad angoli retti. il che farai col prendere 100. punti rettamente
<lb/>da esse, & questi applicare col compasso alle medesime trasversalmente,
<lb/>in maniera che posta una delle aste nel punto 80. l'altra caschi
<lb/>nel 60. (& questa regola d'aggiustare le dette linee à squadra
<lb/>si tenga à memoria per altri bisogni.) fatto questo, prendi la distanza
<lb/>trasversale trà 'l punto 100. & il maggior de i due numeri tagliati
<lb/>da i raggi, che qui è 74. la qual distanza presa devi aggiustare trasversalmente
<lb/>alla differenza de i due numeri de i punti tagliati da i
<lb/>raggi, che qui è 38. & se non potessi per la piccolezza di questo numero:
<lb/>serviti del suo doppio, triplo, ò quadruplo, & qui per essempio
<lb/>applicala al suo triplo, che è 114. & immediatamente piglia la
<lb/>distanza pur trasversale trà li punti 100. la quale misurata rettamente,
<lb/>& presa una, due, tre, ò quattro volte, ti darà la distanza cercata.
<lb/>Misurala dunque nel presente essempio, & troverai la 109. si che triplicata
<lb/>ti darà 327. quanta prossimamente è la distanza che misurar
<lb/>volevamo.
<pb n="30 recto"/>
<lb/>Seguita che veggiamo il modo di misurar l' intervallo trà due luoghi
<lb/>da noi lontani, & prima diremo del modo, quando da qualche
<lb/>sito potessimo vederli ambidue per la medesima linea retta; come
<lb/>mostra il presente essempio, nel quale volendo noi misurar l'intervallo
<lb/>trà i punti BA. stando nel punto C. di dove appariscono
<lb/>per la medesima linea
<lb/>CBA. prima, aggiustata
<lb/>un'asta dello Strumento
<lb/>à tale dirittura, si traguarderà
<lb/>per l'altra verso
<lb/>D. dove pianteremo
<lb/>un'asta lontana dal punto
<lb/>C. 100. misure havendone
<lb/>una simile piantata
<lb/>nel punto C. & venendo
<lb/>al luogo D. aggiusteremo
<lb/>una costa dello
<lb/>Strumento alla dirittura
<lb/>DC. traguardando
<lb/>per l'angolo D. li due
<lb/>luoghi B.A. & notando
<lb/>i numeri tagliati da' raggi,
<lb/>che siano per essempio
<lb/>25. & 20. per i quali
<lb/>due numeri, si deve
<lb/>dividere 10000. & la differenza
<lb/>delli due avvenimenti
<lb/>sarà la distanza BA.
<pb n="30 verso"/>
<lb/>Ma se volendo noi misurar la distanza trà i due luoghi CD. non
<lb/>potessimo venir' in sito tale, che l'uno, & l' altro ci apparisse
<lb/>per la medesima dirittura, in questo caso procederemo come appresso
<lb/>si dirà. Sia dunque, che stando noi nel luogo A. vogliamo investigare
<lb/>la lontananza trà i due luoghi CD. Prima, aggiustata una
<lb/>costa dello Strumento al punto C. come si vede per la linea AEC.
<lb/>traguardisi per l'angolo l'altro punto D. notando i punti EF. tagliati
<lb/>dal raggio AFD. che siano v. g. 20. & senza muover lo Strumento,
<lb/>si traguardi per l' altra costa verso 'l punto B, lasciando in A
<lb/>un' asta, & un' altra facendone porre sopra la dirittura AB. di poi
<lb/>caminando per tale dirittura verremo in B. discostandoci dall' altr'
<lb/>asta tanto, che ricostituita una costa dello Strumento sopra la linea
<lb/>BA. l'altra costa ferisca il punto D. come apparisce per la linea
<lb/>BD. & dall' angolo B. traguarderemo il punto C. notando il numero
<lb/>tagliato dal raggio BG. che sia v. g. 15. finalmente si misureranno
<lb/>i passi trà le due stazioni AB. quali siano per essempio 160.
<lb/>& venendo all'operazione aritmetica, prima si multiplicherà il numero
<lb/>de i passi trà le due stazioni, cioè 160. per 100. fa 16000. &
<lb/>questo si deve divider per i due numeri de i punti separatamente,
<lb/>cioè per 20. & per 15. & ne verranno i due numeri 800. & 1067.
<lb/>de i quali se ne deve pigliar la differenza, che è 267. & questa si deve
<lb/>multiplicar in se stessa fà 71289. & questo uumero si deve aggiugnere
<lb/>al quadrato del numero de i passi, cioè di 160. che è 25600.
<lb/>& in tutto farà 96889. del qual numero si deve prendere la radice
<lb/>quadrata, che è 311. & tanti passi diremo essere trà li due luoghi CD.
<lb/>Come poi si possa ritrovare il computo sopra lo Strumento, faremo
<lb/>col sottoposto essempio manifesto. Siano v. g. li due numeri
<lb/>tagliati da i raggi 60. & 34. & il numero de passi 116. & venendo
<lb/>all' operazione. Prendi sempre 100. dalle linee aritmetiche rettamente,
<lb/>& applicalo trasversalmente al maggior numero de i due
<lb/>tagliati da i raggi, che qui è 60. & subito prendi pur trasversalmente
<lb/>il numero de i passi, che qui è 116. & questo intervallo accomoderai
<lb/>trasversalmente all' altro numero de i raggi, che qui è 34. & se
<lb/>non puoi, applicalo al suo doppio, triplo, quadruplo, ò quello che
<lb/>più ti tornerà comodo: sia per hora al suo quadruplo, cioè al 136.
<lb/>il che fatto, prendi trasversalmente il numero, che è la differenza
<pb n="31 recto"/>
<lb/>trà li due numeri de i raggi, che
<lb/>quì è 26. ò pure piglia il suo
<lb/>doppio, triplo, ò quadruplo, secondo
<lb/>che poco fà si fece l' applicazione;
<lb/>onde in questo caso
<lb/>devi pigliare il suo quadruplo,
<lb/>cioè 104. & questa distanza misurerai
<lb/>rettamente, salvando in
<lb/>memoria il numero che essa conterrà,
<lb/>che nel presente essempio
<lb/>sarà 148. aggiusta finalmente
<lb/>le linee aritmetiche à squadra
<lb/>al modo di sopra dichiarato, il
<lb/>che fatto, piglia trasversalmente
<lb/>l' intervallo trà 'l numero, che
<lb/>salvasti in memoria, & il numero
<lb/>de i passi, cioè trà 'l 148. da
<lb/>una parte, & il 116. dall' altra,
<lb/>& questo misura rettamente &
<lb/>troverai 188: quanta à punto è
<lb/>la distanza cercata EDC.
<pb n="31 verso"/>
<lb/>Et finalmente quando noi non potessimo moverci nella maniera
<lb/>che ricerca la passata operazione, potremo pure nondimeno trovare
<lb/>la lontananza trà due luoghi da noi distanti in altra maniera,
<lb/>& il modo sarà tale. Sendo noi per essempio nel punto C. & volendo
<lb/>ritrovar la distanza tra i due luoghi AB. prima secondo alcuno
<lb/>de i modi dichiarati di sopra misuriamo separatamente le distanze
<lb/>trà 'l punto C. & l' A. & l'altra trà l' istesso C. & il punto B. &
<lb/>sia per essempio la prima passi 850. & l' altra 530. & venendo nel
<lb/>segno C. aggiustando una costa dello Strumento al punto A. come
<lb/>si vede per la linea CDA. traguardisi per l'angolo C. l'altro
<lb/>termine B. notando il numero de i punti DE.
<lb/>tagliati dal raggio, che siano v. g. 15. multiplica
<lb/>poi questo numero in se stesso fà 225. & à questo
<lb/>aggiugni 10000. fà 10225. del quale prendi
<lb/>la radice quadrata, che è 101. multiplica poi
<lb/>la minor distanza, cioè 530. per 100. fa 53000.
<lb/>il quale si divida per la radice pur hora trovata,
<lb/>ne viene 525. & questo multiplica per la
<lb/>maggior distanza, cioè per 850. fa 446250.
<lb/>il qual numero deve esser finalmente duplicato
<lb/>fa 892500. dipoi devonsi multiplicar separatamente
<lb/>le due distanze ciascuna in se stessa
<lb/>fanno 722500. & 28900. & questi numeri si
<lb/>devono congiugnere insieme fanno 1003400.
<lb/>del qual numero si caverà quel duplicato di sopra
<lb/>cioè 892500. resterà 110900. la cui radice,
<lb/>che è 347. sarà la distanza desiderata trà gli
<lb/>due luoghi AB.
<lb/>Con notabil diminuzione di fatica potremo
<lb/>fare il computo presente sopra le linee aritmetiche,
<lb/>& il modo si farà con un essempio manifesto.
<lb/>Pongasi che la maggior distanza sia
<lb/>stata passi 230. & la minore 104. & il numero de
<lb/>i punti tagliati dal raggio 58. Metti le linee
<lb/>Aritmetiche à squadra, & posta un'asta
<lb/>del Compasso nel punto 100. slarga l' altra in
<pb n="32 verso"/>
<lb/>traverso sino al numero de i punti tagliati dal raggio, che qui è
<lb/>58. & considera quanto è questo spazio misurato rettamente, &
<lb/>lo troverai esser prossimamente 116. il che salva in mente; Piglia poi
<lb/>rettamente il detto numero 58. che fu de i punti tagliati dal raggio, &
<lb/>apri lo Strumento sin che questa distanza s' aggiusti in traverso
<lb/>trà il punto del 100. & quello del 116. che salvasti in mente; & non
<lb/>movendo più lo Strumento prendi col compasso la distanza trasversale
<lb/>trà li due numeri de i passi, cioè 230. & 104. & questa misurata
<lb/>rettamente, ti darà infine punti 150. quanta è veramente la
<lb/>distanza AB.
<lb/>Queste sole regole per misurar con la vista hò giudicato, Discreto
<lb/>Lettore, bastar per hora haver descritte; non che secondo
<lb/>queste sole si possa col presente Strumento operare, essendocene
<lb/>moltissime altre, mà per non mi diffondere in lunghi discorsi senza
<lb/>necessità, essendo sicuro che qualunque di mediocre ingegno
<lb/>haverà comprese le già dichiarate, potrà per se stesso ritrovarne altre
<lb/>accomodate ad ogni caso particolare, che occorrer gli potesse.
<lb/>Mà non solamente havrei potuto diffondermi più assai nelle regole
<lb/>clel misurar con la vista; mà molto, & molto più ampliarmi
<lb/>nel mostrare la resoluzione, posso dire, d' infiniti altri Problemi di
<lb/>Geometria, & di Aritmetica, i quali con le altre linee del nostro
<lb/>Strumento risolver si possono; poiche, & quanti ne sono trà gli
<lb/>Elementi di Euclide, & in molti altri Autori, vengono da me con
<lb/>brevissime, & facilissime maniere risoluti; mà come da principio
<lb/>si è detto la mia presente intenzione è stata di parlar con
<lb/>persone militari solamente, & di pochissime altre
<lb/>cose, fuori di quelle, che à simili professori
<lb/>appartengono, riservandomi
<lb/>in altra occasione
<lb/>à publicare
<lb/>insieme con la fabrica dello
<lb/>Strumento una più ampla descrittione
<lb/>de' suoi
<lb/>usi.
<lb/>IL FINE
</body>
</text>
</TEI>
